Black-Scholes-Merton PDE 유도 1
Black-Scholes-Merton PDE 유도 1: 델타 헤징 접근
Black-Scholes-Merton 방정식을 유도할 때에는 여러 가지 가정이 사용된다. 이러한 가정은 모형이 어떤 조건에서 성립하는지를 보여주기 때문에, 방정식 자체만큼이나 중요하다.
특히 실제 금융시장에서는 이러한 조건들이 완벽하게 충족되지 않는다. 따라서 유도 과정을 살펴보기 전에 모형이 어떤 시장을 가정하고 있는지 먼저 이해할 필요가 있다.
Black-Scholes-Merton 모형에서는 기초자산 가격이 기하 브라운 운동을 따른다고 가정한다. 이로 인해 주가와 주가에 의존하는 옵션 가격에는 모두 예측할 수 없는 확률적 변화가 포함된다.
하지만 옵션 한 단위와 적절한 수량의 기초자산을 결합하면 포트폴리오의 확률항을 제거할 수 있다. 확률항이 제거된 포트폴리오는 짧은 시간 동안 위험이 없는 포트폴리오가 되며, 무차익 원리에 따라 무위험 이자율만큼의 수익을 가져야 한다.
이 조건을 이용하면 옵션 가격이 만족해야 하는 Black-Scholes-Merton 편미분방정식을 얻을 수 있다.
1. Black-Scholes-Merton 모형의 가정
1.1 효율적인 시장
Black-Scholes-Merton 모형에서는 시장이 효율적으로 작동한다고 가정한다.
구체적으로 시장은 충분히 유동적이고, 가격이 연속적으로 움직이며, 모든 시장 참여자가 이용 가능한 정보에 동일하게 접근할 수 있다고 본다.
또한 거래 과정에서 별도의 거래비용이 발생하지 않는다고 가정한다.
즉, 주식이나 옵션을 매매할 때 다음과 같은 비용이 없다고 본다.
- 거래 수수료
- 세금
- 매수·매도 가격의 차이
- 거래에 따른 가격 충격
Black-Scholes-Merton 모형에서는 옵션의 위험을 계속 제거하기 위해 주식 보유량을 반복적으로 조정한다. 거래비용이 존재한다면 이러한 헤지 전략에는 지속적으로 비용이 발생하므로 이론적인 유도에서는 거래비용이 없다고 가정한다.
1.2 기초자산의 완전한 분할 가능성
기초자산은 원하는 만큼 잘게 나누어 거래할 수 있다고 가정한다.
예를 들어 옵션의 델타가
\[0.437\]이라면 주식도 정확히 $0.437$주 보유할 수 있다고 본다.
실제 시장에서는 주식이 일정한 단위로 거래되지만, Black-Scholes-Merton 모형에서는 임의의 실수 단위로 거래할 수 있다고 가정한다.
1.3 자유로운 공매도
기초자산을 자유롭게 공매도할 수 있고, 공매도로 받은 대금을 전부 사용할 수 있다고 가정한다. Black-Scholes-Merton PDE를 유도할 때에는 옵션의 위험을 제거하기 위해 주식을 매수하거나 공매도해야 할 수 있다. 따라서 필요한 수량만큼 자유롭게 매수하거나 공매도할 수 있어야 한다.
1.4 일정한 무위험 이자율
무위험 이자율 $r$은 시간에 따라 변하지 않는 상수라고 가정한다.
시점 $t$에 다음 금액을 무위험 자산에 투자한다고 하자.
\[e^{-r(T-t)}\]그러면 만기 $T$에는 다음과 같이 정확히 $1$을 받는다.
\[e^{-r(T-t)}e^{r(T-t)}=1\]\(e^{-r(T-t)}\) 는 만기 $T$에 받을 $1$의 시점 $t$에서의 현재가치이다.
또한 투자자는 같은 무위험 이자율 $r$로 돈을 빌리거나 투자할 수 있다고 가정한다.
1.5 연속적인 거래
Black-Scholes-Merton 모형에서는 포트폴리오를 연속적으로 조정할 수 있다고 가정한다. 옵션의 델타는 주가와 시간이 변함에 따라 계속 변한다. 따라서 옵션의 위험을 지속적으로 제거하려면 주식 보유량도 계속 조정해야 한다.
그러나 실제 시장에서 연속적인 거래는 불가능하다. 거래는 일정한 시간 간격으로만 이루어질 수 있으며, 거래를 자주 할수록 거래비용도 증가한다.
연속적인 거래는 현실적인 가정이라기보다 이론적인 유도를 위한 이상적인 조건이다.
1.6 무차익 원리
시장에 차익거래 기회가 존재하지 않는다고 가정한다.
차익거래란 초기 투자금이나 손실 위험 없이 확정적인 이익을 얻는 거래를 의미한다.
Black-Scholes-Merton PDE의 유도에서는 옵션과 주식을 결합하여 짧은 시간 동안 위험이 없는 포트폴리오를 만든다.
이 포트폴리오가 무위험 이자율보다 높은 수익률을 준다면, 투자자는 무위험 이자율로 돈을 빌려 해당 포트폴리오에 투자하여 위험 없이 이익을 얻을 수 있다.
반대로 포트폴리오의 수익률이 무위험 이자율보다 낮다면, 해당 포트폴리오를 공매도하고 그 대금을 무위험 자산에 투자하여 이익을 얻을 수 있다.
무차익 원리가 성립하려면 위험이 제거된 포트폴리오의 수익률은 반드시 무위험 이자율과 같아야 한다.
1.7 기초자산 가격의 기하 브라운 운동
기초자산 가격 $S(t)$는 다음의 기하 브라운 운동을 따른다고 가정한다.
\[dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dB(t)\]아래에서는 표기를 간단히 하기 위해 $S(t)$를 $S$로 쓰기도 한다.
각 기호의 의미는 다음과 같다.
| 기호 | 의미 |
|---|---|
| $S(t)$ | 시점 $t$에서의 기초자산 가격 |
| $\mu$ | 기초자산의 기대수익률 |
| $\sigma$ | 기초자산 가격의 변동성 |
| $B(t)$ | 표준 브라운 운동 |
| $dB(t)$ | 짧은 시간 동안 발생하는 확률적 충격 |
주가 변화식은 크게 두 부분으로 나눌 수 있다.
먼저 다음 항은 주가의 평균적인 변화를 나타낸다.
\[\mu S(t)dt\]다음 항은 예측할 수 없는 확률적 변화를 나타낸다.
\[\sigma S(t)dB(t)\]따라서 주가 변화는 결정적인 부분과 확률적인 부분을 모두 포함한다.
2. 모형 가정의 현실적인 한계
앞에서 살펴본 가정들은 실제 시장에서 완벽하게 성립하지 않는다.
실제 거래에는 수수료와 세금이 존재하고, 자산은 일정한 거래 단위로 거래된다. 공매도가 제한되는 경우도 있으며 공매도 대금을 자유롭게 사용할 수 없는 경우도 많다.
무위험 이자율과 변동성은 시간에 따라 변하고, 포트폴리오를 연속적으로 조정하는 것도 불가능하다.
또한 실제 주가가 항상 일정한 기대수익률 $\mu$와 변동성 $\sigma$를 가지는 기하 브라운 운동을 정확히 따르는 것도 아니다.
따라서 Black-Scholes-Merton 모형은 실제 시장을 완벽하게 표현하는 모형이 아니라, 일정한 가정 아래에서 옵션 가격의 기본적인 구조를 설명하는 이론적 모형으로 이해해야 한다.
3. 옵션 가격 함수
시점 $t$에서 기초자산 가격이 $S$일 때 콜옵션 또는 풋옵션의 가치를 다음과 같이 나타내자.
\[V=V(S,t)\]옵션 가격 $V$는 두 변수에 의존한다.
- 기초자산 가격 $S$
- 시간 $t$
기초자산 가격 $S$가 변하면 옵션 가격도 변한다. 또한 주가가 변하지 않더라도 만기에 가까워지면 옵션 가격이 변할 수 있다.
옵션 가격 함수의 편미분을 다음과 같이 표기한다.
\[V_t=\frac{\partial V}{\partial t}\] \[V_S=\frac{\partial V}{\partial S}\] \[V_{SS}=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\]$V_S$는 기초자산 가격이 변할 때 옵션 가격이 얼마나 변하는지를 나타내며, 옵션의 델타라고 한다.
\[\Delta_{\text{option}}=V_S\]$V_{SS}$는 옵션의 델타가 기초자산 가격에 따라 얼마나 변하는지를 나타내며, 옵션의 감마라고 한다.
\[\Gamma_{\text{option}}=V_{SS}\]4. 옵션 가격에 Ito 공식 적용
기초자산 가격은 다음의 확률미분방정식을 따른다.
\[dS=\mu Sdt+\sigma SdB(t)\]옵션 가격은 $V(S,t)$이므로, Ito 공식을 적용하면 다음을 얻는다.
\[dV=\left(\frac{\partial V}{\partial t}+\mu S\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\right)dt+\sigma S\frac{\partial V}{\partial S}dB(t)\]편미분 기호를 간단히 쓰면 기초자산의 변화식은 다음과 같다.
\[\color{#2563eb}{ dV=\left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt+\sigma SV_SdB(t) }\]이 식은 옵션 가격의 변화가 두 부분으로 구성된다는 것을 보여준다.
결정적인 부분은 다음과 같다.
\[\left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt\]확률적인 부분은 다음과 같다.
\[\color{#2563eb}{\sigma S V_S dB(t)}\]옵션 가격이 기초자산 가격에 의존하므로, 주가에 포함된 브라운 운동의 영향이 옵션 가격에도 나타난다.
Black-Scholes-Merton PDE 유도의 핵심은 이 확률적인 부분을 제거하는 것이다.
5. 옵션과 기초자산으로 포트폴리오 구성
옵션 한 단위와 기초자산 $\Delta$단위로 구성된 포트폴리오를 생각하자.
포트폴리오의 가치를 $\Pi$라고 하면 다음과 같다.
\[\Pi=V+\Delta S\]여기서 $\Delta$는 아직 정해지지 않은 기초자산의 보유 수량이다.
$\Delta$의 부호에 따라 포지션이 달라진다.
| 조건 | 의미 |
|---|---|
| $\Delta>0$ | 기초자산을 매수하여 보유 |
| $\Delta<0$ | 기초자산을 공매도 |
| $\Delta=0$ | 기초자산을 보유하지 않음 |
매우 짧은 시간구간 $dt$ 동안 $\Delta$가 고정되어 있다고 하자.
그러면 포트폴리오의 가치 변화는 다음과 같다.
\[d\Pi=dV+\Delta dS\]옵션 가격 변화식과 기초자산 가격 변화식을 대입하면 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt+\sigma SV_SdB(t)+\Delta\left(\mu Sdt+\sigma SdB(t)\right)\]식을 $dt$항과 $dB(t)$항으로 나누어 정리하면 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}+\Delta\mu S\right)dt+\left(\sigma SV_S+\Delta\sigma S\right)dB(t)\]확률항을 묶으면 다음과 같다.
\[d\Pi= \color{#2563eb}{ \left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt +\sigma SV_SdB(t)}\color{black}{+\Delta\left(\mu Sdt+\sigma SdB(t)\right)}\]포트폴리오의 불확실성을 발생시키는 부분은 다음 항이다.
\[\sigma S\left(V_S+\Delta\right)dB(t)\]6. 델타 헤징을 통한 확률항 제거
포트폴리오의 확률항을 제거하려면 $dB(t)$의 계수를 $0$으로 만들면 된다.
따라서 다음 조건을 만족하도록 $\Delta$를 선택한다.
\[V_S+\Delta=0\]즉,
\[\Delta=-V_S\]로 선택한다.
옵션의 델타가 $V_S$이므로, 옵션 한 단위를 보유하면서 반대 방향으로 $V_S$만큼의 기초자산을 보유하는 것이다.
포트폴리오를
\[\Pi=V+\Delta S\]로 정의했기 때문에 $\Delta=-V_S$가 된다.
따라서 델타 헤지 포트폴리오의 가치는 다음과 같다.
\[\Pi=V-SV_S\]$\Delta=-V_S$를 포트폴리오 변화식에 대입하면 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}-\mu SV_S\right)dt+\sigma S\left(V_S-V_S\right)dB(t)\]확률항은 다음과 같이 사라진다.
\[\sigma S\left(V_S-V_S\right)dB(t)=0\]기대수익률 $\mu$가 포함된 항도 서로 소거된다.
\[\mu SV_S-\mu SV_S=0\]따라서 포트폴리오의 가치 변화는 다음과 같이 정리된다.
\[d\Pi=\left(V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt\]이 식에는 더 이상 브라운 운동 $dB(t)$가 포함되어 있지 않다.
즉, 델타를 적절하게 선택함으로써 포트폴리오의 확률적인 위험을 제거하였다.
7. 위험이 제거된 포트폴리오
델타 헤지를 적용한 포트폴리오의 변화는 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt\]이 식에는 확률항이 존재하지 않으므로, 포트폴리오의 수익은 매우 짧은 시간 동안 결정적이다.
따라서 이 포트폴리오는 순간적으로 무위험 포트폴리오가 된다.
무차익 원리에 따르면 위험이 없는 포트폴리오는 무위험 이자율 $r$만큼 증가해야 한다.
즉,
\[d\Pi=r\Pi dt\]가 성립해야 한다.
델타 헤지 포트폴리오의 현재 가치는 다음과 같다.
\[\Pi=V-SV_S\]따라서 무위험 이자율에 따른 포트폴리오 변화는 다음과 같다.
\[d\Pi=r\left(V-SV_S\right)dt\]8. 왜 무위험 수익률과 같아야 하는가
델타 헤지 포트폴리오는 확률항이 제거되었기 때문에 짧은 시간 동안 위험이 없다.
그런데 이 포트폴리오의 확정 수익률이 무위험 이자율 $r$보다 높다고 하자.
그러면 투자자는 다음 전략을 사용할 수 있다.
- 무위험 이자율 $r$로 돈을 빌린다.
- 빌린 돈으로 델타 헤지 포트폴리오를 매수한다.
- 포트폴리오에서 더 높은 확정 수익을 얻는다.
- 대출 원리금을 상환하고 남은 차액을 이익으로 얻는다.
이 전략에는 위험이 없으므로 차익거래가 된다.
반대로 델타 헤지 포트폴리오의 확정 수익률이 무위험 이자율보다 낮다고 하자.
그러면 투자자는 해당 포트폴리오를 공매도하고, 받은 금액을 무위험 자산에 투자할 수 있다. 이 경우에도 위험 없이 이익을 얻을 수 있다.
따라서 차익거래 기회가 존재하지 않으려면 다음이 성립해야 한다.
\[\text{델타 헤지 포트폴리오의 수익률}=r\]9. Black-Scholes-Merton PDE 유도
델타 헤지를 통해 구한 포트폴리오의 가치 변화는 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt\]무차익 원리를 통해 구한 포트폴리오의 가치 변화는 다음과 같다.
\[d\Pi=r\left(V-SV_S\right)dt\]두 식은 같은 포트폴리오의 가치 변화를 나타내므로 서로 같아야 한다.
\[\left(V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt=r\left(V-SV_S\right)dt\]양변에서 $dt$를 제거하면 다음과 같다.
\[V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}=rV-rSV_S\]모든 항을 좌변으로 옮기면 다음을 얻는다.
\[V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S-rV=0\]편미분 기호를 모두 풀어서 쓰면 다음과 같다.
\[\boxed{ \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2} +rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV =0 }\]이것이 배당을 지급하지 않는 기초자산에 대한 Black-Scholes-Merton 편미분방정식이다.
10. 기대수익률 $\mu$가 사라지는 이유
기초자산의 실제 가격과정은 다음과 같다.
\[dS=\mu Sdt+\sigma SdB(t)\]처음에는 주식의 기대수익률 $\mu$가 포함되어 있었다.
그러나 최종 Black-Scholes-Merton PDE는 다음과 같다.
\[V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}+rSV_S-rV=0\]최종 방정식에는 $\mu$가 나타나지 않는다.
그 이유는 델타 헤지를 적용할 때 $\mu$가 포함된 항이 서로 소거되기 때문이다.
포트폴리오 변화식에서 $\mu$와 관련된 항은 다음과 같다.
\[\mu SV_S+\Delta\mu S\]이를 묶으면 다음과 같다.
\[\mu S\left(V_S+\Delta\right)\]델타 헤지를 위해
\[\Delta=-V_S\]로 선택했으므로 다음과 같이 사라진다.
\[\mu S\left(V_S-V_S\right)=0\]확률항 역시 같은 원리로 제거된다.
\[\sigma S\left(V_S+\Delta\right)dB(t)=0\]즉, 델타 헤지는 브라운 운동에 의한 확률항뿐 아니라 기초자산의 기대수익률이 포함된 항도 함께 제거한다.
따라서 옵션 가격은 투자자가 예상하는 실제 주식 기대수익률 $\mu$에 직접 의존하지 않는다.
옵션 가격은 같은 payoff를 복제하는 데 필요한 비용과 무차익 조건을 통해 결정된다.
11. 배당을 지급하는 기초자산
지금까지는 기초자산이 배당을 지급하지 않는다고 가정하였다.
기초자산이 연속배당수익률 $\delta$를 지급한다고 하자.
주식 $\Delta$단위를 보유하면 주가 변화뿐 아니라 다음의 배당도 받는다.
\[\Delta\delta Sdt\]따라서 주식 포지션에서 발생하는 총이익은 다음과 같다.
\[\Delta\left(dS+\delta Sdt\right)\]배당을 포함한 포트폴리오의 변화는 다음과 같다.
\[d\Pi=dV+\Delta dS+\Delta\delta Sdt\]앞과 마찬가지로
\[\Delta=-V_S\]를 선택하면 확률항이 제거된다.
이 경우 포트폴리오의 변화는 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}-\delta SV_S\right)dt\]무차익 원리에 따라 다음이 성립해야 한다.
\[d\Pi=r\left(V-SV_S\right)dt\]두 식을 같게 두면 다음과 같다.
\[V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}-\delta SV_S=rV-rSV_S\]모든 항을 좌변으로 옮기면 다음을 얻는다.
\[V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}+(r-\delta)SV_S-rV=0\]따라서 연속배당수익률이 $\delta$인 기초자산에 대한 Black-Scholes-Merton PDE는 다음과 같다.
\[\boxed{ \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2} +(r-\delta)S\frac{\partial V}{\partial S} -rV =0 }\]배당이 없는 경우에는 $\delta=0$이므로 기본 방정식으로 돌아간다.
12. 전체 유도 과정 정리
기초자산 가격은 기하 브라운 운동을 따른다.
\[dS=\mu Sdt+\sigma SdB(t)\]옵션 가격 \(V=V(S,t)\)에 Ito 공식을 적용하면 다음과 같다.
\[dV=\left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt+\sigma SV_SdB(t)\]옵션 한 단위와 기초자산 $\Delta$단위로 포트폴리오를 구성하고 포트폴리오의 가치 변화는 다음과 같다.
\[\Pi=V+\Delta S\] \[d\Pi=dV+\Delta dS\]두 변화식을 대입하여 정리하면 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\mu SV_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}+\Delta\mu S\right)dt+\sigma S\left(V_S+\Delta\right)dB(t)\]확률항을 제거하기 위해 다음과 같이 선택한다.
\[\color{#2563eb}{\Delta=-V_S}\]그러면 브라운 운동 항 dB(t) 과 기대수익률 항이 모두 제거되고 델타 헤지 포트폴리오의 가치는 다음과 같다.
\[d\Pi=\left(V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}\right)dt\] \[\Pi=V-SV_S\]위험이 제거된 포트폴리오는 무위험 이자율만큼 증가해야 한다.
\[d\Pi=r\Pi dt\]따라서 다음이 성립한다.
\[d\Pi=r\left(V-SV_S\right)dt\]두 포트폴리오 변화식을 같게 두면 다음과 같고
\[V_t+\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{SS}=rV-rSV_S\]이를 정리하면 최종 Black-Scholes-Merton PDE를 얻는다.
\[\boxed{ \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2} +rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV =0 }\]배당수익률이 $\delta$인 경우에는 다음과 같다.
\[\boxed{ \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2} +(r-\delta)S\frac{\partial V}{\partial S} -rV =0 }\]