Finite Difference Methods for Option Pricing
1. 유한차분법이 필요한 이유
옵션가격 (V(t,S))는 Black–Scholes–Merton 편미분방정식과 계약별 만기조건·경계조건에 의해 결정된다. 유럽형 콜옵션과 풋옵션에는 해석해가 알려져 있다. 계약조건이 복잡해지면 편미분방정식의 해를 닫힌 형태로 구하기 어려워지며, 이때 수치해법을 사용한다.[1][2]
유한차분법은 시간과 주가를 격자로 나누고 편미분을 격자점 사이의 차분으로 근사한다. 편미분방정식은 격자점의 옵션가격들이 만족하는 대수방정식으로 바뀐다. 계산은 만기 payoff에서 출발하여 현재시점까지 진행된다.[1][3]
flowchart LR
A["Black–Scholes–Merton PDE"] --> B["시간·주가 격자"]
B --> C["편미분의 차분 근사"]
C --> D["Explicit FDM"]
C --> E["Implicit FDM"]
D --> F["일치성·안정성·수렴성"]
E --> F
2. Black–Scholes–Merton 편미분방정식
배당수익률이 $q$이고 변동성이 $\sigma$인 기초자산을 생각하자. 옵션가격 $V(t,S)$는 다음 Black–Scholes–Merton 편미분방정식을 만족한다.[1][2]
\[\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}+(r-q)S\frac{\partial V}{\partial S}-rV=0\]여기서 $r$은 무위험이자율이다. 옵션의 payoff는 만기시점에서 주어지므로 잔존만기 변수 $\tau=T-t$를 정의한다. 이때 다음 관계가 성립한다.
\[\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{\partial V}{\partial\tau}\]이를 Black–Scholes–Merton 편미분방정식에 대입하면 다음과 같다.
\[\displaystyle \frac{\partial V}{\partial\tau}=\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}+(r-q)S\frac{\partial V}{\partial S}-rV\]$\tau=0$은 만기시점이고 $\tau=T$는 현재시점이다.
유럽형 콜옵션과 풋옵션의 만기조건은 각각 다음과 같다.
\[V(0,S)=\max(S-K,0)\] \[V(0,S)=\max(K-S,0)\]유럽형 콜옵션의 대표적인 경계조건은 다음과 같다.
\[V(\tau,0)=0,\qquad V(\tau,S_{\max})\approx S_{\max}e^{-q\tau}-Ke^{-r\tau}\]유럽형 풋옵션의 대표적인 경계조건은 다음과 같다.
\[V(\tau,0)=Ke^{-r\tau},\qquad V(\tau,S_{\max})\approx0\]3. 시간과 주가의 격자
주가구간 $0\le S\le S_{\max}$를 $M$등분하고, 잔존만기 구간 $0\le\tau\le T$를 $N$등분한다.
\[\Delta S=\frac{S_{\max}}{M},\qquad \Delta\tau=\frac{T}{N}\]각 격자점은 다음과 같다.
\[S_j=j\Delta S,\qquad j=0,1,\ldots,M\] \[\tau_n=n\Delta\tau,\qquad n=0,1,\ldots,N\]격자점 $(\tau_n,S_j)$에서의 옵션가격을 $V_j^n=V(\tau_n,S_j)$로 나타낸다.
주가축의 내부 격자점은 $j=1,\ldots,M-1$이다. 양쪽 끝점인 $j=0$과 $j=M$에서는 각각 주가의 하한과 상한에 해당하는 경계조건을 사용한다.
4. 편미분의 차분 근사
차분식은 Taylor 전개에서 얻어진다.[3][4]
4.1 시간에 대한 전진차분
\[u(x,t+\Delta t)=u(x,t)+\Delta t\,u_t(x,t)+\frac{(\Delta t)^2}{2}u_{tt}(x,t)+O((\Delta t)^3)\]양변에서 $u(x,t)$를 빼고 $\Delta t$로 나누면 다음 식을 얻는다.
\[\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}=u_t(x,t)+\frac{\Delta t}{2}u_{tt}(x,t)+O((\Delta t)^2)\]따라서 전진차분은 시간에 대해 1차 정확도를 갖는다.
\[u_t(x,t)=\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}+O(\Delta t)\]4.2 시간에 대한 후진차분
\[u(x,t-\Delta t)=u(x,t)-\Delta t\,u_t(x,t)+\frac{(\Delta t)^2}{2}u_{tt}(x,t)+O((\Delta t)^3)\]정리하면 다음 식을 얻는다.
\[\frac{u(x,t)-u(x,t-\Delta t)}{\Delta t}=u_t(x,t)-\frac{\Delta t}{2}u_{tt}(x,t)+O((\Delta t)^2)\]후진차분도 시간에 대해 1차 정확도를 갖는다.
4.3 공간에 대한 중심차분
\[u(x+\Delta x,t)=u(x,t)+\Delta x\,u_x(x,t)+\frac{(\Delta x)^2}{2}u_{xx}(x,t)+\frac{(\Delta x)^3}{6}u_{xxx}(x,t)+O((\Delta x)^4)\] \[u(x-\Delta x,t)=u(x,t)-\Delta x\,u_x(x,t)+\frac{(\Delta x)^2}{2}u_{xx}(x,t)-\frac{(\Delta x)^3}{6}u_{xxx}(x,t)+O((\Delta x)^4)\]두 식을 빼면 다음 1차 중심차분을 얻는다.
\[u_x(x,t)=\frac{u(x+\Delta x,t)-u(x-\Delta x,t)}{2\Delta x}+O((\Delta x)^2)\]두 식을 더하면 다음 2차 중심차분을 얻는다.
\[u_{xx}(x,t)=\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Delta x,t)}{(\Delta x)^2}+O((\Delta x)^2)\]5. Explicit Finite Difference Method
5.1 Black–Scholes–Merton PDE에서의 도출
Explicit FDM은 공간미분을 이미 계산된 시간단계 (n)에서 평가한다.
\[\frac{V_j^{n+1}-V_j^n}{\Delta\tau}=\frac{1}{2}\sigma^2S_j^2\frac{V_{j+1}^n-2V_j^n+V_{j-1}^n}{(\Delta S)^2}+(r-q)S_j\frac{V_{j+1}^n-V_{j-1}^n}{2\Delta S}-rV_j^n\]$S_j=j\Delta S$를 대입하면 $S_j/\Delta S=j$이고 $S_j^2/(\Delta S)^2=j^2$이다.
이를 $V_j^{n+1}$에 대해 정리하면 다음 식을 얻는다.
\[V_j^{n+1}=a_jV_{j-1}^n+b_jV_j^n+c_jV_{j+1}^n\] \[a_j=\frac{\Delta\tau}{2}\left(\sigma^2j^2-(r-q)j\right)\] \[b_j=1-\Delta\tau\left(\sigma^2j^2+r\right)\] \[c_j=\frac{\Delta\tau}{2}\left(\sigma^2j^2+(r-q)j\right)\]Explicit FDM 계산 구조
- $\tau=0$에서 만기 payoff를 입력한다.
- 시간단계 $n$에서 아는 세 격자값 $V_{j-1}^n$, $V_j^n$, $V_{j+1}^n$을 사용하여 $V_j^{n+1}$을 계산한다.
- 새로운 시간단계의 양쪽 경계조건을 입력한다.
- $\tau=T$에 도달할 때까지 같은 계산을 반복한다.
6. Implicit Finite Difference Method
6.1 Black–Scholes–Merton PDE에서의 도출
Implicit FDM은 공간미분을 새로 구할 시간단계 (n+1)에서 평가한다.
\[\frac{V_j^{n+1}-V_j^n}{\Delta\tau}=\frac{1}{2}\sigma^2S_j^2\frac{V_{j+1}^{n+1}-2V_j^{n+1}+V_{j-1}^{n+1}}{(\Delta S)^2}+(r-q)S_j\frac{V_{j+1}^{n+1}-V_{j-1}^{n+1}}{2\Delta S}-rV_j^{n+1}\]$S_j=j\Delta S$를 대입한 뒤, 시간단계 $n+1$의 격자값이 포함된 항을 왼쪽으로 모으면 다음 식을 얻는다.
\[\ell_jV_{j-1}^{n+1}+d_jV_j^{n+1}+u_jV_{j+1}^{n+1}=V_j^n\] \[\ell_j=-\frac{\Delta\tau}{2}\left(\sigma^2j^2-(r-q)j\right)\] \[d_j=1+\Delta\tau\left(\sigma^2j^2+r\right)\] \[u_j=-\frac{\Delta\tau}{2}\left(\sigma^2j^2+(r-q)j\right)\]내부 격자값을 벡터로 모으면 다음과 같다.
\[A\mathbf{V}^{n+1}=\mathbf{V}^n+\mathbf{g}^{n+1}\] \[A=\begin{bmatrix}d_1&u_1&0&\cdots&0\\\ell_2&d_2&u_2&\ddots&\vdots\\0&\ell_3&d_3&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&u_{M-2}\\0&\cdots&0&\ell_{M-1}&d_{M-1}\end{bmatrix}\]여기서 $\mathbf{g}^{n+1}$은 주가축 양쪽 끝에서 주어지는 경계조건을 반영한 벡터이다. 행렬 $A$는 주대각선과 그 위아래의 대각선에만 값이 존재하는 삼중대각행렬이다. 따라서 일반적인 역행렬을 직접 계산하지 않고 Thomas algorithm을 사용하여 효율적으로 해를 구할 수 있다.
Implicit FDM 계산 구조
- $\tau=0$에서 만기 payoff를 입력한다.
- 계수 $\ell_j$, $d_j$, $u_j$를 사용하여 삼중대각행렬 $A$를 구성한다.
- 해당 시간단계의 경계조건을 벡터 $\mathbf{g}^{n+1}$에 반영한다.
- 선형방정식 $A\mathbf{V}^{n+1}=\mathbf{V}^n+\mathbf{g}^{n+1}$을 풀어 새로운 시간단계의 옵션가격을 구한다.
- $\tau=T$에 도달할 때까지 같은 계산을 반복한다.
7. 안정성 분석을 위한 열전도방정식 변환
Black–Scholes–Merton 편미분방정식은 로그주가와 시간변환을 거쳐 열전도방정식으로 바뀐다.[3][4]
다음 변수를 정의한다.
\[x=\ln\left(\frac{S}{K}\right),\qquad \theta=\frac{\sigma^2}{2}(T-t),\qquad v(x,\theta)=\frac{V(t,S)}{K}\]연쇄법칙을 적용하면 다음 식을 얻는다.
\[V_t=-\frac{\sigma^2K}{2}v_\theta,\qquad V_S=\frac{K}{S}v_x,\qquad V_{SS}=\frac{K}{S^2}(v_{xx}-v_x)\]이를 Black–Scholes–Merton 편미분방정식에 대입하면 다음 식을 얻는다.
\[v_\theta=v_{xx}+av_x-bv\] \[a=\frac{2(r-q)}{\sigma^2}-1,\qquad b=\frac{2r}{\sigma^2}\]이제 $v=e^{\alpha x+\beta\theta}u$로 두고 다음 값을 선택한다.
\[\alpha=-\frac{a}{2},\qquad \beta=\alpha^2+a\alpha-b=-\frac{a^2}{4}-b\]그러면 1차 미분항과 0차항이 제거되어 열전도방정식을 얻는다.
\[u_\theta=u_{xx}\]이후의 일치성·안정성·수렴성 증명은 이 열전도방정식을 기준으로 진행한다. 공간격자를 $\Delta x$, 시간격자를 $\Delta\theta$로 두고 다음 값을 정의한다.
\[\gamma=\frac{\Delta\theta}{(\Delta x)^2}\]8. 일치성·안정성·수렴성의 정의
정확해의 격자값을 $U_i^n=u(x_i,\theta_n)$, 차분법으로 계산한 수치해를 $u_i^n$으로 나타낸다.
8.1 일치성
정확해 $U_i^n$을 차분방정식에 대입했을 때 남는 오차를 국소절단오차 $R_i^n$이라고 한다. 공간격자와 시간격자를 세분화할 때 국소절단오차가 0으로 수렴하면 해당 차분법은 일치성을 갖는다.
\[\lim_{\Delta\theta\to0,\ \Delta x\to0}R_i^n=0\]8.2 안정성
초기조건이나 계산 과정에서 발생한 작은 오차가 시간단계를 반복하면서 계속 증폭되지 않으면 차분법은 안정적이다. von Neumann 안정성 분석에서는 오차를 다음과 같은 Fourier 모드로 나타낸다.
\[\varepsilon_i^n=G^ne^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}\]여기서 $G$는 한 시간단계가 진행될 때 오차가 얼마나 증폭되는지를 나타내는 증폭인자이고, $\xi$는 파수이다. 모든 파수 $\xi$에 대해 $|G|\le1$이면 해당 차분법은 안정적이다.
8.3 수렴성
정확한 해와 수치해의 차이를 전역오차라고 한다.
\[e_i^n=U_i^n-u_i^n\]격자를 세분화할 때 전역오차가 0으로 수렴하면 수치해는 수렴성을 갖는다.
\[\lim_{\Delta\theta\to0,\ \Delta x\to0}e_i^n=0\]9. Explicit FDM의 일치성·안정성·수렴성
9.1 Explicit FDM의 일치성 도출
열전도방정식에 Explicit 차분법을 적용하면 다음 식을 얻는다.
\[\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta\theta}=\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}\]정확해의 격자값 $U_i^n=u(x_i,\theta_n)$을 차분식에 대입하여 국소절단오차를 다음과 같이 정의한다.
\[R_{i,\mathrm{E}}^n=\frac{U_i^{n+1}-U_i^n}{\Delta\theta}-\frac{U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}\]시간차분항을 $(x_i,\theta_n)$에서 Taylor 전개하면 다음 식을 얻는다.
\[\frac{U_i^{n+1}-U_i^n}{\Delta\theta}=u_\theta+\frac{\Delta\theta}{2}u_{\theta\theta}+O((\Delta\theta)^2)\]공간차분항을 같은 점에서 Taylor 전개하면 다음 식을 얻는다.
\[\frac{U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}=u_{xx}+\frac{(\Delta x)^2}{12}u_{xxxx}+O((\Delta x)^4)\]두 전개식을 국소절단오차의 정의에 대입하면 다음과 같다.
\[R_{i,\mathrm{E}}^n=u_\theta-u_{xx}+\frac{\Delta\theta}{2}u_{\theta\theta}-\frac{(\Delta x)^2}{12}u_{xxxx}+O((\Delta\theta)^2)+O((\Delta x)^4)\]정확해는 열전도방정식 $u_\theta=u_{xx}$를 만족하므로 $u_\theta-u_{xx}=0$이다. 따라서 국소절단오차는 다음과 같이 정리된다.
\[R_{i,\mathrm{E}}^n=\frac{\Delta\theta}{2}u_{\theta\theta}-\frac{(\Delta x)^2}{12}u_{xxxx}+O((\Delta\theta)^2)+O((\Delta x)^4)\]그러므로 Explicit FDM의 국소절단오차는 다음 차수를 갖는다.
\[R_{i,\mathrm{E}}^n=O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)\]따라서 Explicit FDM은 시간에 대해 1차, 공간에 대해 2차 일치성을 갖는다.
9.2 Explicit FDM의 안정성 도출
Explicit 차분식을 $\gamma=\Delta\theta/(\Delta x)^2$를 사용하여 정리하면 다음과 같다.
\[u_i^{n+1}=\gamma u_{i-1}^n+(1-2\gamma)u_i^n+\gamma u_{i+1}^n\]Fourier 오차모드 $\varepsilon_i^n=G^ne^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}$를 대입한다.
\[G^{n+1}e^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}=\gamma G^ne^{\mathrm{i}\xi(i-1)\Delta x}+(1-2\gamma)G^ne^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}+\gamma G^ne^{\mathrm{i}\xi(i+1)\Delta x}\]양변을 $G^ne^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}$로 나누면 다음 식을 얻는다.
\[G=\gamma e^{-\mathrm{i}\xi\Delta x}+(1-2\gamma)+\gamma e^{\mathrm{i}\xi\Delta x}\]$e^{\mathrm{i}z}+e^{-\mathrm{i}z}=2\cos z$와 $1-\cos z=2\sin^2(z/2)$를 사용하면 증폭인자는 다음과 같이 정리된다.
\[G=1-2\gamma+2\gamma\cos(\xi\Delta x)=1-4\gamma\sin^2\left(\frac{\xi\Delta x}{2}\right)\]안정성을 위해서는 모든 파수 $\xi$에 대해 $\lvert G\rvert\le 1$이 성립해야 한다. 또한 $0\le \sin^2\left(\frac{\xi\Delta x}{2}\right)\le 1$이므로 증폭인자는 다음 부등식을 만족해야 한다. \(-1\le1-4\gamma\sin^2\left(\frac{\xi\Delta x}{2}\right)\le1\)
오른쪽 부등식은 $\gamma\ge0$일 때 항상 성립한다. 왼쪽 부등식은 $\sin^2(\xi\Delta x/2)=1$일 때 가장 강한 조건을 준다.
\[-1\le1-4\gamma\]이를 정리하면 Explicit FDM의 안정성 조건을 얻는다.
\[0\le\gamma\le\frac{1}{2}\]이를 격자간격으로 나타내면 다음과 같다.
\[\Delta\theta\le\frac{(\Delta x)^2}{2}\]Black–Scholes 방정식의 잔존만기 변수에서는 $\Delta\theta=\sigma^2\Delta\tau/2$이므로 다음 조건을 얻는다.
\[\frac{\sigma^2\Delta\tau}{(\Delta x)^2}\le1\]Explicit FDM의 안정성 조건
공간격자 $\Delta x$를 절반으로 줄이면 시간격자 $\Delta\theta$는 기존 값의 4분의 1 이하로 줄여야 한다. 이 조건을 위반하면 고주파 오차모드가 시간단계를 거치면서 증폭될 수 있다.
9.3 Explicit FDM의 수렴성 도출
내부 격자값을 하나의 벡터로 모으면 Explicit FDM은 다음과 같이 표현된다.
\[\mathbf{u}^{n+1}=A_{\mathrm{E}}\mathbf{u}^n\] \[A_{\mathrm{E}}=\begin{bmatrix}1-2\gamma&\gamma&0&\cdots&0\\\gamma&1-2\gamma&\gamma&\ddots&\vdots\\0&\gamma&1-2\gamma&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\gamma\\0&\cdots&0&\gamma&1-2\gamma\end{bmatrix}\]정확해의 격자값은 국소절단오차를 포함하여 다음 식을 만족한다.
\[\mathbf{U}^{n+1}=A_{\mathrm{E}}\mathbf{U}^n+\Delta\theta\,\mathbf{R}_{\mathrm{E}}^n\]전역오차를 $\mathbf{e}^n=\mathbf{U}^n-\mathbf{u}^n$으로 정의한다. 정확해가 만족하는 식에서 수치해가 만족하는 식을 빼면 다음 오차방정식을 얻는다.
\[\mathbf{e}^{n+1}=A_{\mathrm{E}}\mathbf{e}^n+\Delta\theta\,\mathbf{R}_{\mathrm{E}}^n\]안정성 조건 $0\le\gamma\le1/2$에서는 $|A_{\mathrm{E}}|_2\le1$이므로 다음 부등식이 성립한다.
\[\|\mathbf{e}^{n+1}\|_2\le\|\mathbf{e}^n\|_2+\Delta\theta\|\mathbf{R}_{\mathrm{E}}^n\|_2\]이를 반복하여 적용하면 다음과 같다.
\[\|\mathbf{e}^n\|_2\le\|\mathbf{e}^0\|_2+\Delta\theta\sum_{m=0}^{n-1}\|\mathbf{R}_{\mathrm{E}}^m\|_2\]$n\Delta\theta\le T_\theta$를 사용하면 다음 상계를 얻는다.
\[\|\mathbf{e}^n\|_2\le\|\mathbf{e}^0\|_2+T_\theta\max_{0\le m<n}\|\mathbf{R}_{\mathrm{E}}^m\|_2\]초기조건을 격자에 정확히 입력하면 $\mathbf{e}^0=\mathbf{0}$이다. 일치성 결과 $\mathbf{R}_{\mathrm{E}}^m=O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)$를 대입하면 다음 결론을 얻는다.
\[\|\mathbf{e}^n\|_2=O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)\]따라서 Explicit FDM은 안정성 조건 $0\le\gamma\le1/2$ 아래에서 정확해로 수렴한다.
10. Implicit FDM의 일치성·안정성·수렴성
10.1 Implicit FDM의 일치성 도출
열전도방정식에 Implicit 차분법을 적용하면 다음 식을 얻는다.
\[\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta\theta}=\frac{u_{i+1}^{n+1}-2u_i^{n+1}+u_{i-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}\]정확해의 격자값 $U_i^n=u(x_i,\theta_n)$을 차분식에 대입하여 국소절단오차를 다음과 같이 정의한다.
\[R_{i,\mathrm{I}}^{n+1}=\frac{U_i^{n+1}-U_i^n}{\Delta\theta}-\frac{U_{i+1}^{n+1}-2U_i^{n+1}+U_{i-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}\]시간차분항을 새로운 시간점 $(x_i,\theta_{n+1})$을 기준으로 후진 Taylor 전개하면 다음 식을 얻는다.
\[\frac{U_i^{n+1}-U_i^n}{\Delta\theta}=u_\theta-\frac{\Delta\theta}{2}u_{\theta\theta}+O((\Delta\theta)^2)\]공간차분항도 같은 점 $(x_i,\theta_{n+1})$에서 Taylor 전개한다.
\[\frac{U_{i+1}^{n+1}-2U_i^{n+1}+U_{i-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}=u_{xx}+\frac{(\Delta x)^2}{12}u_{xxxx}+O((\Delta x)^4)\]두 전개식을 국소절단오차의 정의에 대입하면 다음과 같다.
\[R_{i,\mathrm{I}}^{n+1}=u_\theta-u_{xx}-\frac{\Delta\theta}{2}u_{\theta\theta}-\frac{(\Delta x)^2}{12}u_{xxxx}+O((\Delta\theta)^2)+O((\Delta x)^4)\]정확해는 열전도방정식 $u_\theta=u_{xx}$를 만족하므로 $u_\theta-u_{xx}=0$이다. 따라서 국소절단오차는 다음과 같이 정리된다.
\[R_{i,\mathrm{I}}^{n+1}=-\frac{\Delta\theta}{2}u_{\theta\theta}-\frac{(\Delta x)^2}{12}u_{xxxx}+O((\Delta\theta)^2)+O((\Delta x)^4)\]그러므로 Implicit FDM의 국소절단오차는 다음 차수를 갖는다.
\[R_{i,\mathrm{I}}^{n+1}=O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)\]따라서 Implicit FDM은 시간에 대해 1차, 공간에 대해 2차 일치성을 갖는다.
10.2 Implicit FDM의 안정성 도출
Implicit 차분식을 $\gamma=\Delta\theta/(\Delta x)^2$를 사용하여 정리하면 다음과 같다.
\[-\gamma u_{i-1}^{n+1}+(1+2\gamma)u_i^{n+1}-\gamma u_{i+1}^{n+1}=u_i^n\]Fourier 오차모드 $\varepsilon_i^n=G^ne^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}$를 대입한다.
\[-\gamma G^{n+1}e^{\mathrm{i}\xi(i-1)\Delta x}+(1+2\gamma)G^{n+1}e^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}-\gamma G^{n+1}e^{\mathrm{i}\xi(i+1)\Delta x}=G^ne^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}\]양변을 $G^ne^{\mathrm{i}\xi i\Delta x}$로 나누면 다음 식을 얻는다.
\[G\left[-\gamma e^{-\mathrm{i}\xi\Delta x}+(1+2\gamma)-\gamma e^{\mathrm{i}\xi\Delta x}\right]=1\]$e^{\mathrm{i}z}+e^{-\mathrm{i}z}=2\cos z$를 사용하면 다음과 같이 정리된다.
\[G\left[1+2\gamma-2\gamma\cos(\xi\Delta x)\right]=1\]$1-\cos z=2\sin^2(z/2)$를 사용하면 증폭인자는 다음과 같다.
\[G=\frac{1}{1+4\gamma\sin^2\left(\frac{\xi\Delta x}{2}\right)}\]$\gamma>0$이고 $0\le\sin^2(\xi\Delta x/2)\le1$이므로 다음 부등식이 성립한다.
\[0<\frac{1}{1+4\gamma}\le G\le1\]따라서 모든 $\gamma>0$에 대해 $\lvert G\rvert\le 1$이 성립한다. 그러므로 Implicit FDM은 von Neumann 안정성 기준에서 무조건 안정적이다.
Implicit FDM의 안정성
안정성을 위해 $\Delta\theta$와 $\Delta x$ 사이에 별도의 비율조건을 설정할 필요가 없다. 다만 격자가 거칠면 절단오차가 커질 수 있으므로 정확도를 높이려면 두 격자간격을 충분히 줄여야 한다.
10.3 Implicit FDM의 수렴성 도출
내부 격자값을 하나의 벡터로 모으면 Implicit FDM은 다음과 같이 표현된다.
\[B_{\mathrm{I}}\mathbf{u}^{n+1}=\mathbf{u}^n\] \[B_{\mathrm{I}}=\begin{bmatrix}1+2\gamma&-\gamma&0&\cdots&0\\-\gamma&1+2\gamma&-\gamma&\ddots&\vdots\\0&-\gamma&1+2\gamma&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&-\gamma\\0&\cdots&0&-\gamma&1+2\gamma\end{bmatrix}\]정확해의 격자값은 국소절단오차를 포함하여 다음 식을 만족한다.
\[B_{\mathrm{I}}\mathbf{U}^{n+1}=\mathbf{U}^n+\Delta\theta\,\mathbf{R}_{\mathrm{I}}^{n+1}\]전역오차를 $\mathbf{e}^n=\mathbf{U}^n-\mathbf{u}^n$으로 정의한다. 정확해가 만족하는 식에서 수치해가 만족하는 식을 빼면 다음 오차방정식을 얻는다.
\[B_{\mathrm{I}}\mathbf{e}^{n+1}=\mathbf{e}^n+\Delta\theta\,\mathbf{R}_{\mathrm{I}}^{n+1}\]양변에 $B_{\mathrm{I}}^{-1}$을 곱하면 다음과 같다.
\[\mathbf{e}^{n+1}=B_{\mathrm{I}}^{-1}\mathbf{e}^n+\Delta\theta B_{\mathrm{I}}^{-1}\mathbf{R}_{\mathrm{I}}^{n+1}\]Implicit FDM의 증폭인자는 모든 파수에서 $0<G\le1$을 만족하므로 $|B_{\mathrm{I}}^{-1}|_2\le1$이다. 따라서 다음 부등식이 성립한다.
\[\|\mathbf{e}^{n+1}\|_2\le\|\mathbf{e}^n\|_2+\Delta\theta\|\mathbf{R}_{\mathrm{I}}^{n+1}\|_2\]이를 반복하여 적용하고 $n\Delta\theta\le T_\theta$를 사용하면 다음 상계를 얻는다.
\[\|\mathbf{e}^n\|_2\le\|\mathbf{e}^0\|_2+T_\theta\max_{1\le m\le n}\|\mathbf{R}_{\mathrm{I}}^m\|_2\]초기조건을 격자에 정확히 입력하면 $\mathbf{e}^0=\mathbf{0}$이다. 여기에 일치성 결과 $\mathbf{R}_{\mathrm{I}}^m=O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)$를 대입하면 다음 결론을 얻는다.
\[\|\mathbf{e}^n\|_2=O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)\]따라서 Implicit FDM은 모든 $\gamma>0$에서 안정적이며, 격자간격이 0으로 수렴할 때 정확해로 수렴한다.
11. Lax 동등정리와 두 방법의 결론
선형이며 적절성 조건을 만족하는 초기값문제에 대해, 일치성을 갖는 유한차분법은 안정성과 수렴성이 서로 동등하다. 이를 Lax 동등정리라고 한다.
\[\text{일치성을 가정할 때}\qquad\text{안정성}\Longleftrightarrow\text{수렴성}\]앞 절에서는 Explicit FDM과 Implicit FDM의 국소절단오차를 계산하여 일치성을 확인했다. 이어서 Fourier 오차모드를 이용해 안정성을 분석하고, 전역오차의 점화식을 통해 수렴성을 확인했다.
| 방법 | 일치성 | 안정성 | 수렴성 |
|---|---|---|---|
| Explicit FDM | $O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)$ | $0\le\gamma\le1/2$에서 안정 | 안정성 조건 아래에서 수렴 |
| Implicit FDM | $O(\Delta\theta)+O((\Delta x)^2)$ | 모든 $\gamma>0$에서 안정 | 격자간격이 0으로 수렴할 때 비율조건 없이 수렴 |
12. Explicit FDM과 Implicit FDM 비교
| 구분 | Explicit FDM | Implicit FDM |
|---|---|---|
| 공간미분 평가시점 | 시간단계 $n$ | 시간단계 $n+1$ |
| 계산구조 | 새 격자값을 직접 계산 | 같은 시간단계의 미지수들을 함께 계산 |
| 선형계 | 필요 없음 | 삼중대각 선형계 |
| 시간정확도 | 1차 | 1차 |
| 공간정확도 | 2차 | 2차 |
| 일치성 | 있음 | 있음 |
| 안정성 | 조건부 안정 | 무조건 안정 |
| 안정성 조건 | $0\le\gamma\le1/2$ | 모든 $\gamma>0$ |
| 한 시간단계의 계산량 | 비교적 작음 | 선형계 풀이가 필요 |
| 격자 세분화 | $\Delta x$를 줄이면 $\Delta\theta$도 안정성 조건에 맞게 줄여야 함 | 안정성에 관한 비율조건 없이 세분화 가능 |
강현주의 유럽형 풋옵션 수치실험에서는 $\Delta t$를 고정한 상태에서 $\Delta S$를 줄였을 때 Explicit FDM이 불안정해졌다. 반면 Implicit FDM은 같은 격자에서도 안정적인 값을 계산했다.
| 방법 | $\Delta S=10$ | $\Delta S=5$ | $\Delta S=1$ | $\Delta S=0.5$ |
|---|---|---|---|---|
| Explicit FDM | 18.8787 | 18.8531 | 불안정 | 불안정 |
| Implicit FDM | 18.8836 | 18.8592 | 18.8492 | 18.8489 |
해당 실험에서 Black–Scholes 해는 18.8455이다.
유한차분법은 Black–Scholes–Merton 편미분방정식을 격자 위의 차분방정식으로 변환하여 옵션가격을 계산한다.
Explicit FDM은 시간단계 $n$의 세 격자값을 이용하여 시간단계 $n+1$의 값을 직접 계산한다. 시간에 대해 1차, 공간에 대해 2차의 정확도를 가지며, $0\le\gamma\le1/2$에서 안정적이고 수렴한다.
Implicit FDM에서는 시간단계 $n+1$의 격자값들이 하나의 삼중대각 선형계로 연결된다. 시간에 대해 1차, 공간에 대해 2차의 정확도를 가지며, 모든 $\gamma>0$에서 안정적이다. 또한 $\Delta\theta$와 $\Delta x$가 0으로 수렴하면 두 격자간격 사이의 추가적인 비율조건 없이 정확해로 수렴한다.
References
[1] 이재석. (2006). 옵션 가치평가에 관한 연구: FDM과 Monte Carlo Simulation 기법의 비교. 중앙대학교 대학원 석사학위논문.
[2] Yoo, Shiyong. (n.d.). Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula. Course Notes.
[3] 강현주. (2010). Numerical Methods for Pricing of European Option. 이화여자대학교 대학원 석사학위논문.
[4] 최병선. (2007). 계산재무론: Computational Finance. 세경사.