The Intuition Behind Black-Litterman Model Portfolios
Abstract
마코위츠의 MVO는 여러 자산의 기대수익률과 위험을 이용하여, 주어진 위험 수준에서 기대수익률을 가장 높이는 자산 비중을 찾기 위해 사용되거나 반대로 일정한 기대수익률을 달성하면서 위험을 최소화하는 포트폴리오를 구하는 데에도 사용할 수 있다.
그러나 이 방법은 투자자가 입력하는 기대수익률에 매우 민감하다. 기대수익률을 조금만 변경해도 최적 비중이 크게 달라질 수 있으며, 추정오차가 특정 자산에 과도한 비중을 부여하는 결과로 이어질 수 있다.
블랙–리터만 모형은 이러한 문제를 완화하기 위해 시장균형을 출발점으로 사용한다. 시장균형 포트폴리오는 각 자산을 시가총액과 같은 시장 비중에 따라 보유하는 포트폴리오이다. 시장균형 기대수익률은 이 시장 포트폴리오가 최적의 선택이 되도록 만드는 기대수익률로, 자산의 위험과 공분산 및 시장 비중으로부터 역으로 계산된다.
블랙–리터만 모형은 시장균형 기대수익률을 기본적인 믿음으로 두고, 여기에 투자자의 주관적인 전망을 결합하여 새로운 기대수익률을 만든다. 이후 이 기대수익률을 평균–분산 최적화에 사용함으로써 보다 안정적이고 직관적인 포트폴리오 비중을 구하게 되는데 제약조건이 없는 블랙–리터만 최적 포트폴리오가 단순한 구조를 가진다는 점을 보인다. 최적 포트폴리오는 시장균형 기대수익률의 불확실성을 반영하여 조정한 시장균형 포트폴리오에, 투자자의 전망을 나타내는 포트폴리오들의 가중합을 더한 형태이다.
따라서 블랙–리터만 모형은 시장균형 포트폴리오를 기준으로 삼고, 투자자의 전망 방향과 강도 및 확신 수준에 따라 필요한 만큼 자산 비중을 조정하는 방법이라고 이해할 수 있다.
1. Introduction
블랙–리터만 자산배분 모형은 시장균형과 투자자가 추가로 제시하는 시장 전망을 유연하게 결합할 수 있도록 설계되었다.
전통적인 MVO와 비교할 수 있다. 전통적인 ㅡ에서는 사용자가 모든 자산의 기대수익률을 입력하면 포트폴리오 최적화기가 최적 자산 비중을 계산한다.
그러나 기대수익률과 포트폴리오 비중 사이의 관계는 매우 복잡하고 기대수익률을 설정할 때 사용할 수 있는 자연스러운 출발점도 존재하지 않는다. 이 때문에 전통적인 포트폴리오 최적화 모형의 사용자는 자신이 입력한 기대수익률로부터 직관적으로 이해하기 어려운 포트폴리오 비중이 도출되는 경우를 자주 경험한다.
반면 블랙–리터만 모형에서는 사용자가 원하는 개수만큼 전망을 입력할 수 있다. 여기서 전망은 임의의 포트폴리오가 가질 것으로 예상되는 수익률에 관한 판단을 의미한다. 블랙–리터만 모형은 중립적인 자산 비중에서 출발한 뒤 투자자의 전망 방향으로 비중을 기울인 최적 포트폴리오를 구성할 수 있다고 주장하였다.
이 논문에서 보이는 바와 같이, 제약조건이 없는 투자자의 최적 포트폴리오는 시장균형 포트폴리오와 투자자의 전망을 반영하는 포트폴리오들의 가중합을 더한 것에 비례한다.
블랙–리터만 모형은 전망의 강도, 전망 포트폴리오와 시장균형 포트폴리오 사이의 공분산, 그리고 서로 다른 전망 포트폴리오들 사이의 공분산을 고려하여 각 전망 포트폴리오에 부여할 가중치를 계산한다.
이 논문에서는 전망 포트폴리오에 부여되는 가중치가 양수, 음수 또는 0이 되는 조건을 제시하고 특정 전망을 더욱 낙관적으로 평가할수록 해당 전망 포트폴리오의 가중치가 증가한다는 점을 보인다. 투자자가 전망에 대해 느끼는 불확실성이 감소할수록, 즉 전망에 대한 확신이 높아질수록 그 가중치의 절댓값도 증가한다.
이 논문에서 말하는 수익률은 1기간 무위험수익률을 초과하는 초과수익률을 의미한다. 전망의 구체적인 정의는 제2장에서 살펴본다.
2. The Black–Litterman Asset Allocation Model
블랙–리터만 자산배분 모형은 베이즈 접근법을 이용하여 자산의 기대수익률을 추론한다.
이 모형의 핵심은 CAPM 시장균형으로부터 얻은 기대수익률을 기본적인 출발점으로 설정하고, 여기에 투자자의 전망을 새로운 정보로 결합하여 수정된 기대수익률의 확률분포를 구하는 것이다.
2.1 베이즈 접근법
통계학에서는 확률과 모수를 해석하는 대표적인 관점으로 빈도주의와 베이즈주의가 있다.
빈도주의에서는 확률을 동일한 실험을 반복했을 때 나타나는 장기적인 상대도수로 모집단의 평균이나 기대수익률과 같은 실제 값을 알 수 없는 모수는 하나로 고정된 상수라고 본다. 따라서 표본을 이용하여 고정된 모수를 추정하거나 모수에 관한 가설을 검정한다.
반면 베이즈주의에서는 확률을 어떤 명제나 모수에 대한 불확실성의 정도로 해석한다. 정확한 값을 알 수 없는 모수에 확률분포를 부여하고, 새로운 정보가 들어올 때마다 그 분포를 갱신한다.
예를 들어 자산의 기대수익률을 $\mu$라고 하자. 빈도주의에서는 $\mu$를 알 수 없는 하나의 고정된 값으로 본다. 반면 베이즈 접근법에서는 $\mu$의 실제 값에 대해 분석자가 가지고 있는 불확실성을 확률분포로 표현한다.
\[\mu\sim p(\mu)\]이는 기대수익률이 현실에서 무작위로 계속 변한다는 의미라기보다, 기대수익률의 정확한 값을 알지 못하는 상태를 확률분포로 나타낸다는 의미에 가깝다.
블랙–리터만 모형에서도 실제로 시장에서 관측할 수 있는 것은 매기간 실현된 수익률, 관측할 수 없는 건 수익률분포의 평균인 기대수익률은 시장정보와 투자자의 전망을 이용하여 사후분포를 추론해야 한다.
베이즈 추론에서는 먼저 모수에 대한 사전분포를 설정한다. 이후 새로운 정보가 주어지면 사전분포와 가능도를 결합하여 사후분포를 구한다.
모수를 $\theta$, 새롭게 관측한 정보를 $x$라고 하면 베이즈 정리는 다음과 같다.
\[p(\theta\mid x)=\frac{p(x\mid\theta)p(\theta)}{p(x)}\]여기서 $p(\theta)$는 새로운 정보를 반영하기 전 모수에 대한 믿음인 사전분포이다.
$p(x\mid\theta)$는 모수가 $\theta$일 때 관측정보 $x$가 나타날 가능성을 나타내는 가능도이다.
$p(\theta\mid x)$는 관측정보를 반영한 이후 모수에 대해 갱신된 믿음인 사후분포이다.
$p(x)$는 현재의 모형에서 자료 $x$가 관측될 전체 확률이다. 사후분포의 전체 확률이 1이 되도록 조정하는 정규화 상수의 역할을 한다.
연속형 모수의 경우 $p(x)$는 가능한 모든 모수값에 대해 가능도와 사전분포의 곱을 적분하여 구한다.
\[p(x)=\int p(x\mid\theta)p(\theta)\,d\theta\]따라서 베이즈 정리는 다음과 같이 요약할 수 있다.
\[p(\theta\mid x)\propto p(x\mid\theta)p(\theta)\]즉 사후분포는 가능도와 사전분포의 곱에 비례한다.
가능도는 모수가 특정 값을 가질 확률을 직접 나타내는 것이 아니다. 관측정보 $x$를 고정한 상태에서 서로 다른 모수값이 그 자료를 얼마나 잘 설명하는지를 비교하는 함수이다.
\[L(\theta\mid x)=p(x\mid\theta)\]어떤 모수값에서 관측자료가 나타날 가능도가 크다면, 해당 모수값이 자료를 상대적으로 잘 설명한다고 해석할 수 있다.
베이즈 접근법에서는 가능도만 사용하는 것이 아니라 가능도에 사전분포를 결합한다. 따라서 사후분포는 기존에 알고 있던 정보와 새롭게 관측한 정보를 함께 반영한 결과이다.
정규분포를 이용한 베이즈 결합
베이즈 추론은 기존에 가지고 있던 정보와 새롭게 들어온 정보를 결합하여, 추론 대상에 대한 확률분포를 갱신하는 과정이다.
블랙–리터만 모형에서 추론하려는 대상은 자산의 기대수익률 벡터 $\mu$이다.
먼저 시장균형으로부터 기대수익률에 대한 사전분포를 설정한다.
\[\mu \sim \mathcal{N}(\Pi,\tau\Sigma)\]여기서 $\Pi$는 시장균형으로부터 역산한 기대수익률이고, $\tau\Sigma$는 시장균형 기대수익률에 대한 불확실성을 나타낸다.
이후 투자자는 기대수익률에 관한 전망 $Q$를 제시한다.
\[Q = P\mu + \varepsilon^{(v)}\]전망오차는 다음과 같은 정규분포를 따른다고 가정한다.
\[\varepsilon^{(v)} \sim \mathcal{N}(0,\Omega)\]따라서 실제 기대수익률이 $\mu$일 때 투자자의 전망 $Q$가 나타날 분포는 다음과 같다.
\[Q \mid \mu \sim \mathcal{N}(P\mu,\Omega)\]이 분포가 베이즈 추론에서 가능도에 해당한다.
즉 블랙–리터만 모형에서는 투자자의 전망을 완전히 확실한 값으로 사용하지 않는다. 전망 $Q$는 실제 기대수익률로부터 계산한 값 $P\mu$에 일정한 오차가 더해진 정보라고 본다.
베이즈 정리에 따라 시장균형으로부터 얻은 사전분포와 투자자의 전망으로부터 얻은 가능도를 결합한다.
\[p(\mu \mid Q)= \frac{ p(Q \mid \mu)p(\mu) }{ p(Q) }\]정규화 상수 $p(Q)$를 제외하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[p(\mu \mid Q) \propto p(Q \mid \mu)p(\mu)\]이 식의 의미는 기대수익률 $\mu$가 다음 두 조건을 동시에 잘 만족해야 한다는 것이다.
첫째, $\mu$가 시장균형 기대수익률 $\Pi$와 지나치게 멀지 않아야 한다.
둘째, $\mu$로 계산한 전망 포트폴리오의 기대수익률 $P\mu$가 투자자의 전망 $Q$와 지나치게 멀지 않아야 한다.
따라서 블랙–리터만 모형은 시장균형과 투자자의 전망 중 하나를 그대로 선택하지 않는다. 두 정보가 가진 불확실성을 고려하여 그 사이에서 새로운 기대수익률을 구한다.
켤레성
사전분포와 가능도가 모두 정규분포이면 두 정보를 결합한 사후분포도 정규분포가 된다.
이처럼 사전분포와 사후분포가 같은 종류의 분포로 나타나는 관계를 켤레성이라고 한다.
간단한 경우를 생각해 보자. 모수 $\theta$에 대한 사전분포가 다음과 같다고 하자.
\[\theta \sim \mathcal{N}(m_0,V_0)\]새로운 관측정보 $x$가 다음과 같이 주어진다고 하자.
\[x \mid \theta \sim \mathcal{N}(\theta,V_x)\]그러면 사후분포도 정규분포가 된다.
\[\theta \mid x \sim \mathcal{N}(m_1,V_1)\]즉 정규분포 형태를 유지한 채 평균과 분산만 갱신된다.
이러한 성질이 있기 때문에 블랙–리터만 모형에서도 시장균형분포와 투자자의 전망을 결합한 결과를 정규분포 형태로 구할 수 있다.
정밀도의 의미
정밀도는 불확실성의 반대 개념이다.
하나의 변수에 대해서는 정밀도를 분산의 역수로 정의한다.
\[\text{정밀도} = \frac{1}{\text{분산}}\]분산이 작으면 확률분포가 평균 주변에 좁게 모인다. 이는 해당 값에 대한 불확실성이 작고 신뢰도가 높다는 의미이다.
따라서 분산이 작을수록 정밀도는 커진다.
반대로 분산이 크면 확률분포가 넓게 퍼진다. 이는 해당 값에 대한 불확실성이 크고 신뢰도가 낮다는 의미이다.
따라서 분산이 클수록 정밀도는 작아진다.
이를 정리하면 다음과 같다.
\[\text{분산 감소} \quad\Longrightarrow\quad \text{정밀도 증가}\] \[\text{분산 증가} \quad\Longrightarrow\quad \text{정밀도 감소}\]여러 변수를 동시에 다루는 경우에는 분산 대신 공분산행렬을 사용한다.
공분산행렬이 $V$라면 정밀도행렬은 다음과 같다.
\[V^{-1}\]따라서 블랙–리터만 모형에서 시장균형 사전분포의 공분산행렬이 $\tau\Sigma$이므로, 시장균형 정보의 정밀도행렬은 다음과 같다.
\[(\tau\Sigma)^{-1}\]투자자 전망의 공분산행렬이 $\Omega$이므로 전망정보의 정밀도행렬은 다음과 같다.
\[\Omega^{-1}\]$\tau\Sigma$가 작으면 시장균형 기대수익률에 대한 불확실성이 작다는 의미이다. 이 경우 $(\tau\Sigma)^{-1}$은 커지므로 시장균형 정보가 사후 기대수익률에 더 강하게 반영된다.
반대로 $\Omega$가 작으면 투자자의 전망에 대한 불확실성이 작다는 의미이다. 이 경우 $\Omega^{-1}$은 커지므로 투자자의 전망이 사후 기대수익률에 더 강하게 반영된다.
사후분포의 정밀도
단순한 정규분포 결합에서는 사후분포의 정밀도가 사전분포의 정밀도와 새로운 정보의 정밀도를 더한 값으로 나타난다.
\[V_1^{-1}= V_0^{-1} + V_x^{-1}\]이 식은 기존 정보와 새로운 정보가 모두 모수에 관한 정보를 제공하므로, 두 정보가 결합되면 전체 정보량이 증가한다는 의미이다.
정밀도가 커진다는 것은 사후분포의 분산이 작아진다는 의미이다. 즉 새로운 정보를 반영한 이후에는 일반적으로 모수에 대한 불확실성이 감소한다.
사후평균은 다음과 같이 계산된다.
\[m_1= \frac{ V_0^{-1}m_0 + V_x^{-1}x }{ V_0^{-1} + V_x^{-1} }\]이 식은 사전평균 $m_0$과 새로운 관측정보 $x$를 각각의 정밀도에 따라 가중평균한다는 의미이다.
사전정보의 정밀도 $V_0^{-1}$가 크면 사후평균은 사전평균 $m_0$에 더 가까워진다.
새로운 정보의 정밀도 $V_x^{-1}$가 크면 사후평균은 관측정보 $x$에 더 가까워진다.
따라서 베이즈 결합은 두 정보를 단순히 절반씩 평균하는 과정이 아니다. 더 확실한 정보에 더 큰 비중을 부여하는 과정이다.
블랙–리터만 모형의 정밀도
블랙–리터만 모형에서는 기대수익률 $\mu$가 여러 자산으로 이루어진 벡터이므로 정밀도 역시 행렬로 표현된다.
시장균형 사전분포의 정밀도행렬은 다음과 같다.
\[(\tau\Sigma)^{-1}\]투자자의 전망이 기대수익률에 제공하는 정밀도는 다음과 같다.
\[P^\top\Omega^{-1}P\]여기서 $\Omega^{-1}$은 투자자의 각 전망에 대한 정밀도를 나타낸다.
$P$는 자산의 기대수익률 $\mu$를 전망 포트폴리오의 기대수익률 $P\mu$로 변환한다.
따라서 $P^\top\Omega^{-1}P$는 전망공간에 있는 정보의 정밀도를 다시 자산 기대수익률 공간으로 옮긴 결과이다.
두 정보를 결합한 사후분포의 정밀도행렬은 다음과 같다.
\[\bar{M}=(\tau\Sigma)^{-1}+P^\top\Omega^{-1}P\]사후분포의 공분산행렬은 정밀도행렬의 역행렬이다.
\[\bar{M}^{-1}=\left[ (\tau\Sigma)^{-1}+P^\top\Omega^{-1}P\right]^{-1}\]시장균형 정보와 전망정보의 정밀도가 더해지기 때문에, 두 정보를 결합한 이후의 불확실성은 일반적으로 결합 이전보다 작아진다.
사후 기대수익률의 평균은 다음과 같다.
\[\bar{\mu}=\left[ (\tau\Sigma)^{-1}+ P^\top\Omega^{-1}P \right]^{-1} \left[ (\tau\Sigma)^{-1}\Pi+ P^\top\Omega^{-1}Q \right]\]이 식의 앞부분은 결합 이후의 공분산행렬이다.
\[\left[ (\tau\Sigma)^{-1} + P^\top\Omega^{-1}P \right]^{-1}\]뒷부분은 시장균형 기대수익률과 투자자의 전망을 각각의 정밀도에 따라 반영한 값이다.
\[(\tau\Sigma)^{-1}\Pi + P^\top\Omega^{-1}Q\]따라서 사후 기대수익률 $\bar{\mu}$는 시장균형 기대수익률 $\Pi$와 투자자의 전망 $Q$를 각각의 확실성에 따라 결합한 결과이다.
시장균형을 더 신뢰하면 $\bar{\mu}$는 $\Pi$에 가까워진다.
투자자의 전망을 더 신뢰하면 $\bar{\mu}$는 전망 $Q$를 더 강하게 반영하는 방향으로 이동한다.
결국 블랙–리터만 모형에서 정밀도는 시장균형과 투자자의 전망 중 어느 정보를 얼마나 강하게 반영할지를 결정하는 역할을 한다.
2.2 자산수익률의 분포
시장에 주식, 채권, 통화 등을 포함한 총 $N$개의 자산이 존재한다고 가정하자.
이 자산들의 수익률은 기대수익률 벡터 $\mu$와 공분산행렬 $\Sigma$를 갖는 다변량 정규분포를 따른다고 가정한다.
\[r \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma) \qquad (1)\]여기서 $r$은 $N$개 자산의 수익률을 모아 놓은 확률벡터이다.
\[r=\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\\vdots\\r_N\end{pmatrix}\]$\mu$는 각 자산의 기대수익률을 모아 놓은 벡터이다.
\[\mu=\begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\\\vdots\\\mu_N\end{pmatrix}\]$\Sigma$는 각 자산의 분산과 자산 사이의 공분산을 포함하는 공분산행렬이다.
\[\Sigma=\begin{pmatrix}\operatorname{Var}(r_1)&\operatorname{Cov}(r_1,r_2)&\cdots&\operatorname{Cov}(r_1,r_N)\\\operatorname{Cov}(r_2,r_1)&\operatorname{Var}(r_2)&\cdots&\operatorname{Cov}(r_2,r_N)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\operatorname{Cov}(r_N,r_1)&\operatorname{Cov}(r_N,r_2)&\cdots&\operatorname{Var}(r_N)\end{pmatrix}\]식 (1)에서 $r$은 앞으로 실현될 수익률이므로 확률변수이다. 블랙–리터만 모형에서는 직접 관측할 수 없는 기대수익률 $\mu$에도 확률분포를 부여하여 그 값을 추론한다.
2.3 CAPM과 시장균형
블랙–리터만 모형의 사전분포는 CAPM 시장균형으로부터 출발한다.
CAPM은 투자자가 시장위험을 부담하는 대가로 어느 정도의 기대수익률을 요구하는지를 설명하는 모형이다. 위험에는 체계적 위험과 비체계적 위험으로 구성되어 있는데 CAPM에서는 시장 전체와 함께 움직이는 체계적 위험에 대해서만 위험프리미엄이 주어진다고 본다. 개별 자산만의 고유위험은 여러 자산에 분산투자함으로써 줄일 수 있기 때문이다.
자산 $i$의 CAPM 관계는 다음과 같다.
\[E(r_i)-r_f=\beta_i\left[E(r_m)-r_f\right]\]양변에 무위험수익률을 더하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[E(r_i)=r_f+\beta_i\left[E(r_m)-r_f\right]\]여기서 $E(r_i)$는 자산 $i$의 기대수익률이고, $r_f$는 무위험수익률이다.
$E(r_m)$은 시장 포트폴리오의 기대수익률이며, 다음 항은 시장위험프리미엄이다.
\[E(r_m)-r_f\]시장위험프리미엄은 투자자가 무위험자산 대신 시장 포트폴리오의 위험을 부담하는 대가로 요구하는 추가 기대수익률이다.
$\beta_i$는 자산 $i$가 시장 포트폴리오와 함께 움직이는 정도를 나타낸다.
\[\beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(r_i,r_m)}{\operatorname{Var}(r_m)}\]베타가 1이면 해당 자산은 시장과 비슷한 정도로 움직인다. 베타가 1보다 크면 시장보다 더 민감하게 움직이고, 베타가 1보다 작으면 시장보다 덜 민감하게 움직인다.
CAPM에서는 베타가 클수록 투자자가 더 많은 체계적 위험을 부담하므로 더 높은 기대수익률을 요구한다고 본다.
시장 포트폴리오
CAPM의 균형에서는 모든 투자자가 위험자산 가운데 동일한 시장 포트폴리오를 보유한다고 본다.
투자자마다 위험을 감수하려는 정도는 다를 수 있다. 그러나 이러한 차이는 시장 포트폴리오와 무위험자산을 결합하는 비중에 반영된다. 위험자산 내부의 구성은 시장 포트폴리오로 동일하다고 가정한다.
시장 포트폴리오는 시장에 존재하는 모든 위험자산을 시장가치에 비례하여 보유하는 포트폴리오이다.
자산 $i$의 시가총액을 $V_i$라고 하면 시장균형 포트폴리오에서 자산 $i$의 비중은 다음과 같다.
\[w_{\mathrm{eq},i}=\frac{V_i}{\sum_{j=1}^{N}V_j}\]따라서 시장균형 포트폴리오 $w_{\mathrm{eq}}$는 각 자산의 시가총액 비중을 모아 놓은 벡터이다.
\[w_{\mathrm{eq}}=\begin{pmatrix}w_{\mathrm{eq},1}\\w_{\mathrm{eq},2}\\\vdots\\w_{\mathrm{eq},N}\end{pmatrix}\]시장균형은 투자자들이 원하는 각 자산의 총수요가 시장에 실제로 존재하는 각 자산의 공급과 정확히 일치하는 상태이다.
모든 투자자의 보유자산을 합하면 시장 전체에 존재하는 자산을 모두 보유하게 된다. 따라서 시장 전체 투자자들이 종합적으로 보유하는 위험자산 포트폴리오는 시장 포트폴리오 $w_{\mathrm{eq}}$가 된다.
2.4 평균–분산 최적화와 시장균형 위험프리미엄
시장균형 위험프리미엄이 어떻게 도출되는지를 확인하기 위해 대표 투자자의 평균–분산 최적화 문제를 생각하자.
대표 투자자는 포트폴리오의 기대 초과수익률은 높이고 위험은 낮추고자 한다.
이를 다음과 같은 목적함수로 나타낼 수 있다.
\[\max_w\left[w^\top\Pi-\frac{\delta}{2}w^\top\Sigma w\right]\]여기서 $w^\top\Pi$는 포트폴리오의 기대 초과수익률이고, $w^\top\Sigma w$는 포트폴리오 수익률의 분산이다.
$\delta$는 대표 투자자의 위험회피계수이다. $\delta$가 클수록 투자자는 포트폴리오의 위험에 더 큰 불이익을 부여한다.
목적함수를 포트폴리오 비중벡터 $w$에 대해 미분하면 다음과 같다.
\[\frac{\partial}{\partial w}\left[w^\top\Pi-\frac{\delta}{2}w^\top\Sigma w\right]=\Pi-\delta\Sigma w\]최적 포트폴리오에서는 일차조건이 0이 되어야 한다.
\[\Pi-\delta\Sigma w=0\]따라서 대표 투자자의 최적 포트폴리오는 다음과 같다.
\[w^*=\frac{1}{\delta}\Sigma^{-1}\Pi\]일반적인 평균–분산 최적화에서는 기대수익률 또는 위험프리미엄 $\Pi$를 입력한 뒤 최적 포트폴리오 $w^*$를 구한다.
\[\Pi\longrightarrow w^*\]그러나 시장균형에서는 대표 투자자가 원하는 최적 포트폴리오가 시장에 실제로 존재하는 자산의 공급 비중과 같아야 한다.
\[w^*=w_{\mathrm{eq}}\]이를 평균–분산 최적화의 일차조건에 대입하면 시장균형 위험프리미엄을 얻는다.
\[\Pi = \delta \Sigma w_{\mathrm{eq}} \qquad (2)\]여기서 $\Pi$는 각 자산의 시장균형 위험프리미엄을 모아 놓은 벡터이다.
\[\Pi=\begin{pmatrix}\pi_1\\\pi_2\\\vdots\\\pi_N\end{pmatrix}\]각 원소 $\pi_i$는 시장에서 자산 $i$가 현재의 비중만큼 보유되도록 만들기 위해 필요한 균형 기대 초과수익률이다.
식 (2)는 미래의 기대수익률을 직접 예측하는 식이 아니다.
시장에서 관측할 수 있는 시장 비중 $w_{\mathrm{eq}}$, 자산의 공분산행렬 $\Sigma$, 시장 전체의 위험회피 정도 $\delta$를 이용하여 현재의 시장 포트폴리오를 최적으로 만드는 기대 초과수익률 $\Pi$를 역으로 계산한다.
이 과정을 역최적화라고 한다.
일반적인 평균–분산 최적화의 방향은 다음과 같다.
\[\Pi\longrightarrow w^*\]반면 블랙–리터만 모형의 역최적화에서는 시장에서 관측한 포트폴리오 비중으로부터 그 비중을 정당화하는 기대수익률을 구한다.
\[w_{\mathrm{eq}}\longrightarrow\Pi\]따라서 블랙–리터만 모형에서 말하는 시장균형 기대수익률은 현재의 시장 포트폴리오가 평균–분산 최적화의 결과라고 가정했을 때, 그 포트폴리오를 최적의 선택으로 만드는 기대 초과수익률이다.
2.5 시장균형 기대수익률의 사전분포
블랙–리터만 모형은 식 (2)에서 구한 시장균형 위험프리미엄 $\Pi$를 기대수익률에 대한 출발점으로 사용한다.
그러나 $\Pi$가 실제 기대수익률 $\mu$와 정확히 같다고 가정하지는 않는다.
시장균형 위험프리미엄 역시 공분산행렬과 위험회피계수 등을 이용하여 역으로 추론한 값이므로 불확실성이 존재하기 때문이다.
따라서 실제 기대수익률 $\mu$는 시장균형 위험프리미엄 $\Pi$를 중심으로 분포한다고 가정한다.
\[\mu = \Pi + \varepsilon^{(e)} \qquad (3)\]여기서 $\epsilon^{(e)}$는 시장균형 위험프리미엄과 실제 기대수익률 사이의 오차를 나타내는 확률벡터이다.
이 오차벡터는 평균이 0이고 공분산행렬이 $\tau\Sigma$인 다변량 정규분포를 따른다고 가정한다.
\[\epsilon^{(e)}\sim N(0,\tau\Sigma)\]따라서 기대수익률의 사전분포는 다음과 같다.
\[\mu\sim N(\Pi,\tau\Sigma)\]이 분포가 블랙–리터만 모형의 CAPM 시장균형 사전분포이다.
사전분포의 평균은 시장균형 위험프리미엄 $\Pi$이고, 공분산행렬은 $\tau\Sigma$이다.
$\tau$는 시장균형 기대수익률에 대한 불확실성의 크기를 조정하는 스칼라이다.
$\tau$가 작으면 사전분포가 $\Pi$ 주변에 좁게 모인다. 이는 시장균형 기대수익률을 강하게 신뢰한다는 의미이다.
반대로 $\tau$가 크면 사전분포가 넓게 퍼진다. 이는 시장균형 기대수익률에 더 큰 불확실성이 존재한다고 본다는 의미이다.
2.6 투자자의 전망
CAPM 사전분포와 별도로 투자자는 시장수익률에 관한 여러 개의 전망을 가질 수 있다.
하나의 전망은 특정 포트폴리오 $p$의 기대수익률이 평균 $q$를 중심으로 분포하며, 그 전망에 일정한 불확실성이 존재한다는 판단으로 표현된다.
예를 들어 투자자가 독일 주식이 프랑스와 영국 주식보다 높은 수익률을 기록할 것이라고 예상한다고 하자.
이 전망은 독일 주식을 매수하고 프랑스와 영국 주식을 매도하는 전망 포트폴리오 $p$로 표현할 수 있다. 투자자가 예상하는 이 전망 포트폴리오의 기대수익률이 $q$이다.
투자자가 총 $K$개의 전망을 가지고 있다고 하자.
$P$는 각 전망 포트폴리오의 비중을 행으로 가지는 $K\times N$ 행렬이고, $Q$는 각 전망 포트폴리오에 대해 투자자가 예상하는 기대수익률을 모아 놓은 $K$차원 벡터이다.
각 전망 포트폴리오를 $p_1,p_2,\ldots,p_K$로 나타내면 $P$의 전치행렬은 다음과 같다.
\[P^\top = \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & \cdots & p_K \end{pmatrix} \qquad (4)\]각 전망의 기대수익률을 $q_1,q_2,\ldots,q_K$로 나타내면 $Q$의 전치벡터는 다음과 같다.
\[Q^\top = \begin{pmatrix} q_1 & q_2 & \cdots & q_K \end{pmatrix} \qquad (5)\]따라서 $P$는 각 전망 포트폴리오의 비중을 행으로 가지는 행렬이다.
\[P = \begin{pmatrix} p_1^\top \\ p_2^\top \\ \vdots \\ p_K^\top \end{pmatrix}\]투자자의 전체 전망은 다음과 같이 표현된다.
\[P\mu = Q + \varepsilon^{(v)} \qquad (6)\]식 (6)의 왼쪽에 있는 $P\mu$는 실제 기대수익률 $\mu$가 주어졌을 때 각 전망 포트폴리오의 기대수익률을 나타낸다.
\[P\mu=\begin{pmatrix}p_1^\top\mu\\p_2^\top\mu\\\vdots\\p_K^\top\mu\end{pmatrix}\]$Q$는 투자자가 각 전망 포트폴리오에 대해 제시한 기대수익률이다.
\[Q=\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\\vdots\\q_K\end{pmatrix}\]$\epsilon^{(v)}$는 투자자의 전망에 포함된 오차를 나타내는 관측 불가능한 확률벡터이다.
전망오차는 평균이 0이고 공분산행렬이 $\Omega$인 다변량 정규분포를 따른다고 가정한다.
\[\epsilon^{(v)}\sim N(0,\Omega)\]따라서 실제 기대수익률 $\mu$가 주어졌을 때 투자자의 전망 $Q$에 대한 조건부분포는 다음과 같다.
\[Q\mid\mu\sim N(P\mu,\Omega)\]이 조건부분포가 베이즈 정리에서 가능도에 해당한다.
\[p(Q\mid\mu)\propto\exp\left[-\frac{1}{2}(Q-P\mu)^\top\Omega^{-1}(Q-P\mu)\right]\]이 식은 기대수익률 $\mu$로부터 계산한 전망 포트폴리오의 기대수익률 $P\mu$가 투자자의 전망 $Q$와 가까울수록 해당 $\mu$가 전망을 더 잘 설명한다는 의미이다.
$\Omega$는 각 전망에 포함된 불확실성을 나타내는 공분산행렬이다.
전망오차들이 서로 독립이라고 가정하면 $\Omega$는 다음과 같은 대각행렬로 표현된다.
\[\Omega=\begin{pmatrix}\omega_1&0&\cdots&0\\0&\omega_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\omega_K\end{pmatrix}\]$\omega_k$가 크면 $k$번째 전망의 불확실성이 크고, $\omega_k$가 작으면 해당 전망에 대한 투자자의 확신이 높다는 의미이다.
2.7 시장균형오차와 전망오차의 독립성
블랙–리터만 모형에서는 시장균형 기대수익률에 포함된 오차 $\epsilon^{(e)}$와 투자자의 전망에 포함된 오차 $\epsilon^{(v)}$가 서로 독립이라고 가정한다.
\[\begin{pmatrix} \varepsilon^{(e)} \\ \varepsilon^{(v)} \end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \tau\Sigma & 0 \\ 0 & \Omega \end{pmatrix} \right) \qquad (7)\]식 (7)의 공분산행렬에서 비대각 블록이 0이라는 것은 시장균형 기대수익률의 오차와 투자자 전망의 오차 사이에 상관관계가 없다고 가정한다는 의미이다.
2.8 사전분포와 전망의 결합
이제 CAPM 시장균형에서 얻은 사전분포와 투자자의 전망을 베이즈 정리를 이용하여 결합한다.
기대수익률의 사전분포는 다음과 같다.
\[\mu\sim N(\Pi,\tau\Sigma)\]사전분포의 밀도는 다음에 비례한다.
\[p(\mu)\propto\exp\left[-\frac{1}{2}(\mu-\Pi)^\top(\tau\Sigma)^{-1}(\mu-\Pi)\right]\]투자자의 전망으로부터 얻은 가능도는 다음과 같다.
\[p(Q\mid\mu)\propto\exp\left[-\frac{1}{2}(Q-P\mu)^\top\Omega^{-1}(Q-P\mu)\right]\]베이즈 정리에 따라 사후분포는 사전분포와 가능도의 곱에 비례한다.
\[p(\mu\mid Q)\propto p(Q\mid\mu)p(\mu)\]따라서 사후분포는 다음 두 거리의 합을 동시에 고려한다.
\[(\mu-\Pi)^\top(\tau\Sigma)^{-1}(\mu-\Pi)+(Q-P\mu)^\top\Omega^{-1}(Q-P\mu)\]첫 번째 항은 후보 기대수익률 $\mu$가 시장균형 기대수익률 $\Pi$로부터 얼마나 떨어져 있는지를 측정한다.
두 번째 항은 후보 기대수익률로 계산한 전망 포트폴리오의 기대수익률 $P\mu$가 투자자의 전망 $Q$로부터 얼마나 떨어져 있는지를 측정한다.
따라서 블랙–리터만 모형은 시장균형과 투자자의 전망 중 하나를 그대로 선택하지 않는다. 두 정보가 가진 불확실성을 고려하여 시장균형과 전망을 적절하게 결합한다.
두 정규분포를 결합한 결과 기대수익률의 사후분포 역시 정규분포가 된다.
\[\mu\mid Q\sim N\left(\bar{\mu},\bar{M}^{-1}\right)\]사후 기대수익률의 평균 $\bar{\mu}$는 다음과 같다.
\[\bar{\mu}= \left[ (\tau\Sigma)^{-1} + P^\top\Omega^{-1}P \right]^{-1} \left[ (\tau\Sigma)^{-1}\Pi + P^\top\Omega^{-1}Q \right] \qquad (8)\]식 (8)은 시장균형 기대수익률 $\Pi$와 투자자의 전망 $Q$를 각각의 불확실성에 따라 결합한 결과이다.
$(\tau\Sigma)^{-1}$은 시장균형 정보의 정밀도를 나타낸다.
$\Omega^{-1}$은 투자자 전망의 정밀도를 나타낸다.
공분산이 작을수록 불확실성이 작고, 그 역행렬로 표현되는 정밀도는 커진다. 정밀도가 큰 정보일수록 사후 기대수익률에 더 큰 영향을 준다.
투자자의 전망에 대한 확신이 높으면 $\Omega$가 작아지고 $\Omega^{-1}$은 커진다. 이 경우 사후 기대수익률 $\bar{\mu}$는 투자자의 전망을 더 강하게 반영한다.
반대로 전망의 불확실성이 크면 $\Omega$가 커지고 $\Omega^{-1}$은 작아진다. 이 경우 사후 기대수익률은 시장균형 기대수익률 $\Pi$에 더 가까워진다.
시장균형 기대수익률에 대한 불확실성이 작아 $\tau\Sigma$가 작으면 $(\tau\Sigma)^{-1}$은 커진다. 이 경우 투자자의 전망이 추가되더라도 사후 기대수익률은 시장균형 기대수익률에서 크게 벗어나지 않는다.
사후분포의 공분산행렬은 다음과 같다.
\[\bar{M}^{-1} = \left[ (\tau\Sigma)^{-1} + P^\top\Omega^{-1}P \right]^{-1} \qquad (9)\]$\bar{M}^{-1}$은 시장균형 정보와 투자자의 전망을 모두 반영한 이후에도 기대수익률에 남아 있는 불확실성을 나타낸다.
사전정보와 전망정보의 정밀도가 합쳐지므로, 일반적으로 새로운 정보를 반영한 이후에는 기대수익률에 대한 불확실성이 감소한다.
결국 블랙–리터만 모형은 먼저 CAPM과 시장 포트폴리오를 이용하여 시장이 암묵적으로 가정하는 균형 기대수익률 $\Pi$를 역으로 계산한다.
이 값을 중심으로 하는 정규분포를 기대수익률의 사전분포로 설정한다. 그다음 투자자의 전망 $Q$와 전망의 불확실성 $\Omega$를 가능도로 표현한다.
마지막으로 사전분포와 가능도를 베이즈 정리에 따라 결합하여 사후 기대수익률 $\bar{\mu}$와 사후 불확실성 $\bar{M}^{-1}$을 구한다.
이 절에서는 자산수익률의 공분산행렬 $\Sigma$를 이미 알려진 상수행렬로 가정한다.
포트폴리오 $p$는 투자자의 전망을 표현하므로 전망 포트폴리오라고도 부른다.
$\Omega$를 대각행렬로 가정하는 것은 본질적인 제약이 아니다. $\Omega$가 대각행렬이 아니더라도 전망을 서로 독립적인 형태로 변환할 수 있다. 실제로 이 논문의 대부분에서는 $\Omega$가 대각행렬일 필요가 없으며, Property 3.1의 증명에서는 기존 전망과 새롭게 추가한 전망의 오차가 분리되는 블록대각행렬 형태만 요구된다.
식 (9)는 Black과 Litterman의 원래 논문에 직접 제시되지는 않았지만, Satchell과 Scowcroft가 지적한 것처럼 잘 알려진 베이즈 추론의 결과이다.
3. The Unconstrained Optimal Portfolio
제2장에서 구한 식 (8)을 이용하면 투자자의 전망과 시장균형을 결합한 사후 기대수익률의 평균 $\bar{\mu}$를 계산할 수 있다.
그러나 자산의 수가 많아지면 $\bar{\mu}$에 포함된 각각의 기대수익률이 투자자의 원래 전망을 어떻게 반영하고 있는지 파악하기가 쉽지 않다.
그 이유는 서로 다른 자산군의 기대수익률이 각 자산의 변동성과 자산 사이의 상관관계를 통해 모두 연결되어 있기 때문이다.
예를 들어 투자자가 독일 주식시장이 나머지 유럽 주식시장보다 높은 수익률을 기록할 것이라고 전망한다고 하자.
이러한 전망 자체는 쉽게 이해할 수 있다. 그러나 이 전망을 반영하기 위해 독일, 프랑스, 영국을 비롯한 각 시장의 기대수익률을 구체적으로 얼마씩 조정해야 하는지를 직관적으로 결정하기는 어렵다.
단순히 독일 주식의 기대수익률만 높이고 나머지 시장의 기대수익률을 그대로 유지한다고 하자.
이 경우 평균–분산 최적화기는 반드시 독일 주식의 비중만 높이는 결과를 제시하지 않는다. 최적화기는 각 시장의 상대적인 변동성과 상관관계를 함께 이용하기 때문이다.
그 결과 독일 주식의 비중을 단순히 높이는 것보다 더 높은 기대수익률과 더 낮은 위험을 가진다고 계산되는 복잡한 포트폴리오가 만들어질 수 있다. 투자자가 별도의 전망을 제시하지 않은 다른 국가의 비중까지 함께 변할 수도 있다.
블랙–리터만 접근법에서는 독일 주식이 나머지 유럽 주식보다 높은 수익률을 기록할 것이라는 전망을 개별 자산의 기대수익률 수정으로 직접 표현하지 않는다.
대신 독일 주식을 매수하고 나머지 유럽 주식을 시가총액 비중에 따라 매도하는 전망 포트폴리오를 구성한 뒤, 이 포트폴리오의 기대수익률이 양수라는 형태로 전망을 표현한다.
식 (8)은 각 시장의 변동성과 상관관계를 적절하게 고려하여 이러한 전망을 모든 자산의 기대수익률 조정으로 변환한다.
이후 설명하겠지만 이렇게 조정된 기대수익률은 최적화기에 독일 주식의 비중을 높이고, 그 투자자금을 마련하기 위해 나머지 유럽 주식의 비중을 낮추는 것이 가장 적절하다는 결과를 제시한다.
즉 투자자의 전망은 독일 주식의 비중 확대와 나머지 유럽 주식의 비중 축소라는 직관적인 포트폴리오 변화로 연결된다.
그럼에도 다음 두 단계의 변환은 일반적으로 이해하기 어렵다.
먼저 전망 포트폴리오에 관한 투자자의 판단이 전체 자산의 기대수익률 벡터로 변환된다.
그다음 수정된 기대수익률 벡터가 최적 포트폴리오 비중으로 변환된다.
따라서 이 논문은 수정된 기대수익률 자체를 직접 해석하기보다, 블랙–리터만 모형으로 얻은 최적 포트폴리오 비중을 분석한다.
먼저 별도의 포트폴리오 제약조건이 없고, 투자자의 위험회피계수가 시장의 대표 위험회피계수인 $\delta$와 같다고 가정한다.
이 경우의 최적 포트폴리오를 살펴보면 블랙–리터만 자산배분 모형의 경제적 구조를 보다 직관적으로 이해할 수 있다.
3.1 사후 예측수익률의 분포
블랙–리터만 모형에서는 기대수익률 $\mu$ 자체를 확률변수로 다룬다.
따라서 투자자의 전망을 반영한 이후 자산수익률의 분포는 평균이 $\bar{\mu}$이고 공분산행렬이 기존의 $\Sigma$인 단순한 분포가 아니다.
제2장에서 기대수익률의 사후분포는 다음과 같이 주어졌다.
\[\mu \mid Q \sim \mathcal{N} \left( \bar{\mu}, \bar{M}^{-1} \right)\]여기서 $\bar{M}^{-1}$은 사후 기대수익률 $\mu$에 남아 있는 불확실성을 나타낸다.
한편 실제 자산수익률은 기대수익률 $\mu$를 중심으로 공분산행렬 $\Sigma$만큼 변동한다.
따라서 미래 자산수익률의 전체 불확실성에는 두 가지가 포함된다.
첫 번째는 기대수익률이 주어진 상태에서도 실제 수익률이 변동하는 불확실성인 $\Sigma$이다.
두 번째는 기대수익률 $\mu$ 자체를 정확히 알지 못하여 발생하는 불확실성인 $\bar{M}^{-1}$이다.
두 불확실성을 합하면 투자자의 전망을 반영한 미래 수익률의 공분산행렬은 다음과 같다.
\[\bar{\Sigma}= \Sigma+\bar{M}^{-1}\]따라서 식 (1), 식 (8), 식 (9)에 따라 미래 자산수익률의 분포는 다음과 같이 나타난다.
\[r \sim \mathcal{N} \left( \bar{\mu}, \bar{\Sigma} \right) \qquad (10)\]여기서 $\bar{\mu}$는 시장균형과 투자자의 전망을 결합한 사후 기대수익률이고, $\bar{\Sigma}$는 자산수익률 자체의 변동성과 기대수익률 추정의 불확실성을 모두 포함하는 공분산행렬이다.
3.2 평균–분산 최적화를 통한 최적 포트폴리오
사후 기대수익률 $\bar{\mu}$와 예측수익률의 공분산행렬 $\bar{\Sigma}$가 주어지면 표준적인 평균–분산 최적화를 이용하여 최적 포트폴리오를 구할 수 있다.
위험회피계수가 $\delta$인 투자자의 최적화 문제는 다음과 같다.
\[\max_{w} \left[ w^\top\bar{\mu}- \frac{\delta}{2} w^\top\bar{\Sigma}w \right] \qquad (11)\]첫 번째 항은 포트폴리오의 기대수익률이다.
\[w^\top\bar{\mu}\]두 번째 항은 포트폴리오의 위험에 대한 불이익이다.
\[\frac{\delta}{2} w^\top\bar{\Sigma}w\]여기서 $w^\top\bar{\Sigma}w$는 포트폴리오 수익률의 분산이며, $\delta$는 투자자가 위험을 얼마나 회피하는지를 나타낸다.
$\delta$가 클수록 투자자는 동일한 기대수익률을 얻더라도 위험에 더 큰 불이익을 부여한다.
목적함수를 포트폴리오 비중벡터 $w$에 대해 미분하면 다음과 같다.
\[\frac{\partial}{\partial w} \left[ w^\top\bar{\mu}- \frac{\delta}{2} w^\top\bar{\Sigma}w \right]= \bar{\mu}- \delta\bar{\Sigma}w\]최적 포트폴리오에서는 일차조건이 0이 되어야 하므로 다음 관계가 성립한다.
\[\bar{\mu}=\delta\bar{\Sigma}w^* \qquad (12)\]식 (12)를 $w^*$에 대해 정리하면 최적 포트폴리오 비중은 다음과 같다.
\[w^*= \frac{1}{\delta} \bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu} \qquad (13)\]여기서 $w^*$는 블랙–리터만 모형으로 얻은 최적 포트폴리오의 비중벡터이다.
식 (13)은 기대수익률이 높을수록 해당 자산을 더 많이 보유하되, 자산의 분산과 자산 사이의 공분산을 함께 고려하여 비중을 결정한다는 의미이다.
3.3 사후 기대수익률을 대입한 최적 포트폴리오
제2장의 식 (8)에 따르면 사후 기대수익률은 다음과 같다.
\[\bar{\mu}= \bar{M}^{-1} \left[ (\tau\Sigma)^{-1}\Pi+ P^\top\Omega^{-1}Q \right]\]이를 식 (13)에 대입하면 최적 포트폴리오 비중을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[w^*= \frac{1}{\delta} \bar{\Sigma}^{-1} \bar{M}^{-1} \left[ (\tau\Sigma)^{-1}\Pi+ P^\top\Omega^{-1}Q \right] \qquad (14)\]식 (14)는 최적 포트폴리오가 시장균형 위험프리미엄 $\Pi$와 투자자의 전망 $Q$를 모두 반영한다는 점을 보여준다.
그러나 이 식만으로는 최적 포트폴리오가 어떤 구조를 가지는지 직관적으로 이해하기 어렵다.
이를 단순화하기 위해 먼저 다음 관계를 이용한다.
\[\bar{\Sigma}^{-1}= \left( \Sigma+\bar{M}^{-1} \right)^{-1}= \bar{M}- \bar{M} \left( \bar{M}+\Sigma^{-1} \right)^{-1} \bar{M} \qquad (15)\]식 (15)는 행렬 역행렬에 관한 항등식을 이용하여 $\bar{\Sigma}^{-1}$을 다른 형태로 나타낸 것이다.
다음 행렬 $A$를 정의하자.
\[A= \frac{\Omega}{\tau}+ P \frac{\Sigma}{1+\tau} P^\top\]그러면 식 (14)에 포함된 다음 행렬곱을 단순화할 수 있다.
\[\bar{\Sigma}^{-1}\bar{M}^{-1}= \frac{\tau}{1+\tau} \left[ I- P^\top A^{-1}P \frac{\Sigma}{1+\tau} \right] \qquad (16)\]여기서 $I$는 $N\times N$ 단위행렬이다.
식 (16)을 식 (14)에 대입하여 정리하면 최적 포트폴리오는 매우 직관적인 형태로 나타난다.
\[w^*= \frac{1}{1+\tau} \left( w_{\mathrm{eq}}+ P^\top\Lambda \right) \qquad (17)\]여기서 시장균형 포트폴리오는 다음과 같다.
\[w_{\mathrm{eq}}= (\delta\Sigma)^{-1}\Pi\]식 (2)의 관계를 이용하면 이는 시장에서 관측한 시장균형 비중과 같다.
\[\Pi= \delta\Sigma w_{\mathrm{eq}}\]$\Lambda$는 각각의 전망 포트폴리오에 부여되는 가중치를 모아 놓은 벡터이며 다음과 같이 정의된다.
\[\Lambda= \frac{\tau}{\delta}\Omega^{-1}Q- A^{-1}P \frac{\Sigma}{1+\tau} w_{\mathrm{eq}}- A^{-1}P \frac{\Sigma}{1+\tau} P^\top \frac{\tau}{\delta}\Omega^{-1}Q \qquad (18)\]투자자가 총 $K$개의 전망을 가지고 있다면 $\Lambda$는 다음과 같은 $K$차원 벡터이다.
\[\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_K \end{pmatrix}\]$P^\top$의 각 열은 하나의 전망 포트폴리오이다.
\[P^\top= \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & \cdots & p_K \end{pmatrix}\]따라서 전망 포트폴리오들의 가중합은 다음과 같다.
\[P^\top\Lambda= \lambda_1p_1 + \lambda_2p_2 + \cdots + \lambda_Kp_K\]식 (17)은 제약조건이 없는 블랙–리터만 최적 포트폴리오의 구조를 보여준다.
투자자는 먼저 시장균형 포트폴리오 $w_{\mathrm{eq}}$에서 출발한다.
그다음 자신이 가진 각각의 전망을 나타내는 포트폴리오 $p_k$를 가중치 $\lambda_k$만큼 추가한다.
마지막으로 전체 포트폴리오에 시장균형 기대수익률의 불확실성을 반영하는 조정계수 $1/(1+\tau)$를 적용한다.
따라서 블랙–리터만 최적 포트폴리오는 시장균형 포트폴리오를 완전히 대체하는 포트폴리오가 아니다.
시장균형 포트폴리오를 기준으로 삼은 뒤, 투자자의 전망이 있는 방향으로 필요한 만큼만 비중을 조정한 포트폴리오이다.
3.4 전망 가중치의 해석
식 (18)에 나타난 전망 가중치 $\Lambda$의 각 항은 경제적으로 해석할 수 있다.
첫 번째 항은 다음과 같다.
\[\frac{\tau}{\delta}\Omega^{-1}Q\]이 항은 투자자의 전망 자체가 가중치에 미치는 직접적인 영향을 나타낸다.
$k$번째 전망의 기대수익률 $q_k$가 높을수록 해당 전망은 더 강한 낙관적 전망을 의미한다. 따라서 다른 조건이 같다면 해당 전망 포트폴리오의 가중치는 커진다.
전망의 불확실성이 $\omega_k$라면 상대적인 불확실성은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\frac{\omega_k}{\tau}\]이에 대응하는 상대적인 정밀도는 다음과 같다.
\[\frac{\tau}{\omega_k}\]$\omega_k$가 작을수록 전망에 대한 불확실성이 작고 정밀도는 높아진다. 따라서 동일한 기대수익률 전망이라도 투자자가 더 확신하는 전망에는 더 큰 가중치가 부여된다.
두 번째 항은 다음과 같다.
\[- A^{-1}P \frac{\Sigma}{1+\tau} w_{\mathrm{eq}}\]이 항은 전망 포트폴리오와 시장균형 포트폴리오 사이의 공분산에 따라 전망 가중치를 줄이는 역할을 한다.
시장균형에 관한 정보는 이미 사전분포에 반영되어 있다.
따라서 전망 포트폴리오가 시장균형 포트폴리오와 강하게 함께 움직인다면, 해당 전망에는 사전분포에 이미 포함된 정보가 많이 들어 있다고 볼 수 있다.
즉 시장균형과 중복되는 정보가 많을수록 새로운 정보로서의 가치가 작아지므로 해당 전망에 부여되는 가중치가 감소한다.
세 번째 항은 다음과 같다.
\[- A^{-1}P \frac{\Sigma}{1+\tau} P^\top \frac{\tau}{\delta}\Omega^{-1}Q\]이 항은 하나의 전망 포트폴리오와 다른 전망 포트폴리오들 사이의 공분산에 따라 가중치를 줄이는 역할을 한다.
서로 다른 전망 포트폴리오들이 강하게 함께 움직이면 여러 전망에 동일하거나 유사한 정보가 반복해서 포함될 수 있다.
이러한 상황에서 각 전망을 독립적인 정보처럼 모두 강하게 반영하면 같은 정보를 이중으로 계산하게 된다.
따라서 전망 포트폴리오들 사이의 공분산이 클수록 중복되는 정보에 대한 페널티가 적용되고 전망 가중치가 줄어든다.
결국 식 (18)의 전망 가중치는 다음 세 요소를 함께 반영한다.
전망이 얼마나 강한지, 투자자가 그 전망을 얼마나 확신하는지, 그리고 해당 전망이 시장균형이나 다른 전망과 얼마나 중복되는지를 고려하여 최종 가중치를 결정한다.
3.5 위험회피 정도가 다른 투자자
지금까지는 투자자의 위험회피계수가 시장의 대표 위험회피계수 $\delta$와 같다고 가정하였다.
그러나 실제 투자자의 위험회피계수가 $\hat{\delta}$라면 최적 포트폴리오 $\hat{w}^$는 기존의 최적 포트폴리오 $w^$를 일정한 비율로 조정하여 구할 수 있다.
\[\hat{w}^*= \left( \frac{\delta}{\hat{\delta}} \right) w^* \qquad (19)\]여기서 $\hat{\delta}$는 해당 투자자의 위험회피계수이다.
투자의 위험회피계수가 시장의 대표 위험회피계수보다 크다면 다음 관계가 성립한다.
\[\hat{\delta}>\delta\]이 경우 $\delta/\hat{\delta}$가 1보다 작으므로 위험자산에 대한 전체 투자 규모가 감소한다.
반대로 투자자의 위험회피계수가 더 작다면 다음 관계가 성립한다.
\[\hat{\delta}<\delta\]이 경우 $\delta/\hat{\delta}$가 1보다 커지므로 위험자산에 대한 전체 투자 규모가 증가한다.
따라서 위험회피 정도가 달라져도 시장균형 포트폴리오와 전망 포트폴리오 사이의 상대적인 구성은 유지되고, 전체 포트폴리오의 크기만 조정된다.
3.6 위험 한도가 정해진 투자자
투자자가 위험회피계수를 직접 지정하는 대신 포트폴리오의 위험을 일정한 수준 이하로 제한할 수도 있다.
포트폴리오 수익률의 표준편차 한도가 $\sigma$라면 분산 한도는 $\sigma^2$이다.
이 경우 최적화 문제는 다음과 같다.
\[\max_{w} \quad w^\top\bar{\mu} \quad \text{subject to} \quad w^\top\bar{\Sigma}w \le \sigma^2 \qquad (20)\]즉 포트폴리오의 위험이 정해진 한도를 넘지 않는 범위에서 기대수익률을 최대화한다.
이 경우의 최적 포트폴리오 $\tilde{w}^$도 기존 포트폴리오 $w^$의 크기를 조정하여 구할 수 있다.
\[\tilde{w}^*= \left( \frac{ \sigma\delta }{ \sqrt{ \bar{\mu}^\top \bar{\Sigma}^{-1} \bar{\mu} } } \right) w^* \qquad (21)\]분모의 다음 항은 사후 기대수익률과 공분산행렬을 이용하여 계산한 최적 포트폴리오 방향의 위험조정 규모를 나타낸다.
\[\sqrt{ \bar{\mu}^\top \bar{\Sigma}^{-1} \bar{\mu} }\]식 (21)은 블랙–리터만 모형이 결정한 최적 투자 방향은 유지하면서, 포트폴리오의 표준편차가 투자자가 정한 $\sigma$가 되도록 전체 투자 규모를 조정한 결과이다.
3.7 다른 제약조건이 존재하는 경우
투자자에게 공매도 금지, 자산별 최대 비중, 최소 보유 비중, 레버리지 제한과 같은 다른 제약조건이 존재할 수도 있다.
이 경우에는 식 (17)의 포트폴리오를 단순히 비례 조정하는 것만으로 최적해를 구할 수 없다.
대신 블랙–리터만 모형으로 구한 사후 기대수익률 $\bar{\mu}$와 예측수익률의 공분산행렬 $\bar{\Sigma}$를 일반적인 포트폴리오 최적화 모형의 입력값으로 사용한다.
그다음 투자자의 제약조건을 포함한 평균–분산 최적화 문제를 직접 풀어 최적 포트폴리오를 구한다.
3.8 전망 가중치에 관한 문제
블랙–리터만 최적 포트폴리오에서 전망 가중치 $\lambda_k$는 포트폴리오 구성에 중요한 역할을 한다.
따라서 각 전망 가중치가 어떤 조건에서 양수, 음수 또는 0이 되는지를 알아야 한다.
또한 투자자의 전망이나 확신 수준이 달라질 때 가중치가 어떤 방향으로 변하는지도 확인할 필요가 있다.
이어지는 Property 3.1과 Property 3.2에서는 이러한 전망 가중치의 부호와 변화에 관한 성질을 제시한다.
Property 3.1
투자자가 처음에 $K$개의 전망을 가지고 있다고 하자. 기존 전망은 전망행렬 $P$, 전망수익률 벡터 $Q$, 전망오차의 공분산행렬 $\Omega$로 표현한다.
기존 $K$개의 전망으로부터 계산한 사후 기대수익률의 평균을 $\bar{\mu}$라고 하고,
\(\Lambda= \frac{\tau}{\delta}\Omega^{-1}Q- A^{-1}P \frac{\Sigma}{1+\tau} w_{\mathrm{eq}}- A^{-1}P \frac{\Sigma}{1+\tau} P^\top \frac{\tau}{\delta}\Omega^{-1}Q \qquad\)로 정의한 전망 가중치 벡터를 $\Lambda$라고 하자.
이제 투자자가 전망 포트폴리오 $p$, 전망수익률 $q$, 전망의 불확실성 $\omega$인 새로운 전망을 하나 추가한다고 하자.
다음 행렬과 벡터를 정의한다.
\[A=\frac{\Omega}{\tau}+P\frac{\Sigma}{1+\tau}P^\top\] \[b=P\frac{\Sigma}{1+\tau}p\] \[c=\frac{\omega}{\tau}+p^\top\frac{\Sigma}{1+\tau}p\]그러면 $K+1$개의 전망을 사용했을 때 새로운 전망 가중치 벡터는 다음과 같다.
\[\hat{\Lambda}=\begin{pmatrix}\Lambda-\hat{\lambda}_{K+1}A^{-1}b\\\hat{\lambda}_{K+1}\end{pmatrix}\qquad (22)\]새롭게 추가한 전망에 부여되는 가중치는 다음과 같다.
\[\hat{\lambda}_{K+1}=\frac{q-p^\top\Sigma\bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu}}{\left(c-b^\top A^{-1}b\right)\delta}\qquad (23)\]다음 벡터를 기존 $K$개 전망으로부터 내재된 기대수익률이라고 정의한다.
\[\tilde{\mu}=\Sigma\bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu}\qquad (24)\]그러면 새로운 전망의 가중치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\hat{\lambda}_{K+1}=\frac{q-p^\top\tilde{\mu}}{\left(c-b^\top A^{-1}b\right)\delta}\]분모가 양수이므로 새로운 전망 가중치의 부호는 분자의 부호와 같다.
\[\operatorname{sgn}\left(\hat{\lambda}_{K+1}\right)=\operatorname{sgn}\left(q-p^\top\tilde{\mu}\right)\]새로운 전망 $q$가 기존 모형에서 내재된 전망수익률 $p^\top\tilde{\mu}$보다 크면 새로운 전망 가중치는 양수이다.
\[q>p^\top\tilde{\mu}\Rightarrow\hat{\lambda}_{K+1}>0\]새로운 전망이 기존의 내재 전망수익률보다 작으면 새로운 전망 가중치는 음수이다.
\[q<p^\top\tilde{\mu}\Rightarrow\hat{\lambda}_{K+1}<0\]새로운 전망이 기존 모형에 내재된 전망수익률과 정확히 같으면 새로운 전망의 가중치는 0이다.
\[q=p^\top\tilde{\mu}\Rightarrow\hat{\lambda}_{K+1}=0\]이 경우 새로운 전망은 기존 정보에 추가되는 내용을 포함하지 않으므로 기존 $K$개 전망의 가중치도 변하지 않는다.
Proof
증명
식 (18)은 다음과 같이 정리할 수 있다.
\[\Lambda=A^{-1}\left(\frac{Q}{\delta}-P\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\right)\qquad (25)\]다음 벡터를 정의한다.
\[g=\frac{Q}{\delta}-P\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\]그러면 기존 전망 가중치는 다음 관계를 만족한다.
\[A\Lambda=g\]새로운 전망을 추가하면 전망행렬, 전망수익률 벡터, 전망오차의 공분산행렬은 다음과 같이 확장된다.
\[\hat{P}=\begin{pmatrix}P\\p^\top\end{pmatrix}\qquad (27)\] \[\hat{Q}=\begin{pmatrix}Q\\q\end{pmatrix}\qquad (28)\] \[\hat{\Omega}=\begin{pmatrix}\Omega&0\\0&\omega\end{pmatrix}\qquad (29)\]확장된 행렬 $\hat{A}$는 다음과 같은 블록행렬이 된다.
\[\hat{A}=\frac{\hat{\Omega}}{\tau}+\hat{P}\frac{\Sigma}{1+\tau}\hat{P}^\top=\begin{pmatrix}A&b\\b^\top&c\end{pmatrix}\qquad (30)\]새로운 전망 가중치 벡터의 앞쪽 $K$개 성분을 $x$라고 두면 다음과 같다.
\[\hat{\Lambda}=\begin{pmatrix}x\\\hat{\lambda}_{K+1}\end{pmatrix}\]또한 다음 스칼라를 정의한다.
\[h=\frac{q}{\delta}-p^\top\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\]확장된 전망 가중치는 다음 블록 선형방정식을 만족한다.
\[\begin{pmatrix}A&b\\b^\top&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\hat{\lambda}_{K+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g\\h\end{pmatrix}\]첫 번째 블록행을 계산하면 다음과 같다.
\[Ax+b\hat{\lambda}_{K+1}=g\]이를 $x$에 대해 정리한다.
\[Ax=g-b\hat{\lambda}_{K+1}\Rightarrow x=A^{-1}g-\hat{\lambda}_{K+1}A^{-1}b\]기존 전망 가중치는 $\Lambda=A^{-1}g$이므로 다음을 얻는다.
\[x=\Lambda-\hat{\lambda}_{K+1}A^{-1}b\qquad (36)\]즉 새로운 전망이 추가되면 기존 $K$개 가중치는 모두 동일하게 유지되는 것이 아니라, 새로운 전망과 기존 전망 사이의 공분산구조를 반영한 $A^{-1}b$만큼 조정된다.
이제 두 번째 블록행을 계산한다.
\[b^\top x+c\hat{\lambda}_{K+1}=h\]앞에서 구한 $x=\Lambda-\hat{\lambda}_{K+1}A^{-1}b$를 대입한다.
\[b^\top\left(\Lambda-\hat{\lambda}_{K+1}A^{-1}b\right)+c\hat{\lambda}_{K+1}=h\]식을 전개한다.
\[b^\top\Lambda-\hat{\lambda}_{K+1}b^\top A^{-1}b+c\hat{\lambda}_{K+1}=h\]$\hat{\lambda}_{K+1}$이 포함된 항을 묶는다.
\[\left(c-b^\top A^{-1}b\right)\hat{\lambda}_{K+1}=h-b^\top\Lambda\]따라서 새로운 전망의 가중치는 다음과 같다.
\[\hat{\lambda}_{K+1}=\frac{h-b^\top\Lambda}{c-b^\top A^{-1}b}\]이제 분자 $h-b^\top\Lambda$를 정리한다.
$b=P\Sigma p/(1+\tau)$이므로 다음이 성립한다.
\[b^\top\Lambda=p^\top\frac{\Sigma}{1+\tau}P^\top\Lambda\]따라서 분자는 다음과 같다.
\[h-b^\top\Lambda=\frac{q}{\delta}-p^\top\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}-p^\top\frac{\Sigma}{1+\tau}P^\top\Lambda\]공통항을 묶으면 다음과 같다.
\[h-b^\top\Lambda=\frac{q}{\delta}-p^\top\Sigma\frac{w_{\mathrm{eq}}+P^\top\Lambda}{1+\tau}\]식 (17)에 따르면 기존 $K$개 전망으로부터 얻은 최적 포트폴리오는 다음과 같다.
\[w^*=\frac{1}{1+\tau}\left(w_{\mathrm{eq}}+P^\top\Lambda\right)\]따라서 분자는 다음과 같이 단순화된다.
\[h-b^\top\Lambda=\frac{q}{\delta}-p^\top\Sigma w^*\]두 번째 항에 $\delta/\delta$를 곱하여 하나의 분수로 정리한다.
\[h-b^\top\Lambda=\frac{q-p^\top\delta\Sigma w^*}{\delta}\]식 (13)에 따르면 기존 최적 포트폴리오는 다음과 같다.
\[w^*=\frac{1}{\delta}\bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu}\]따라서 다음 관계가 성립한다.
\[\delta\Sigma w^*=\Sigma\bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu}=\tilde{\mu}\]이를 분자에 대입한다.
\[h-b^\top\Lambda=\frac{q-p^\top\tilde{\mu}}{\delta}\]따라서 새로운 전망의 가중치는 다음과 같다.
\[\hat{\lambda}_{K+1}=\frac{q-p^\top\tilde{\mu}}{\left(c-b^\top A^{-1}b\right)\delta}\]$\tilde{\mu}=\Sigma\bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu}$를 대입하면 식 (23)을 얻는다.
\[\hat{\lambda}_{K+1}=\frac{q-p^\top\Sigma\bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu}}{\left(c-b^\top A^{-1}b\right)\delta}\qquad (34)\]첫 $K$개 가중치와 새로운 전망의 가중치를 결합하면 다음과 같다.
\[\hat{\Lambda}=\begin{pmatrix}\Lambda-\hat{\lambda}_{K+1}A^{-1}b\\\hat{\lambda}_{K+1}\end{pmatrix}\qquad (37)\]이제 분모의 부호를 확인한다.
$\hat{\Omega}$가 양의 정부호이고 $\hat{P}\Sigma\hat{P}^\top$가 양의 준정부호이므로 다음이 성립한다.
\[\hat{\Omega}\succ0,\quad\hat{P}\Sigma\hat{P}^\top\succeq0\Rightarrow\hat{A}=\frac{\hat{\Omega}}{\tau}+\hat{P}\frac{\Sigma}{1+\tau}\hat{P}^\top\succ0\]양의 정부호 블록행렬 $\hat{A}$의 Schur complement도 양수이다.
\[c-b^\top A^{-1}b>0\]위험회피계수 역시 양수이다.
\[\delta>0\]따라서 식 (23)의 분모는 항상 양수이다.
\[\left(c-b^\top A^{-1}b\right)\delta>0\]그러므로 새로운 전망 가중치의 부호는 분자의 부호와 같다.
\[\operatorname{sgn}\left(\hat{\lambda}_{K+1}\right)=\operatorname{sgn}\left(q-p^\top\tilde{\mu}\right)\]새로운 전망수익률이 기존 모형에 내재된 전망수익률보다 크면 새로운 전망 포트폴리오를 매수한다.
\[q>p^\top\tilde{\mu}\Rightarrow\hat{\lambda}_{K+1}>0\]새로운 전망수익률이 기존 모형에 내재된 전망수익률보다 작으면 새로운 전망 포트폴리오를 매도한다.
\[q<p^\top\tilde{\mu}\Rightarrow\hat{\lambda}_{K+1}<0\]특히 새로운 전망이 기존 내재 기대수익률과 같으면 다음과 같다.
\[q=p^\top\tilde{\mu}\Rightarrow\hat{\lambda}_{K+1}=0\]이를 식 (36)에 대입하면 다음과 같다.
\[x=\Lambda-\hat{\lambda}_{K+1}A^{-1}b=\Lambda\]따라서 새로운 전망이 기존 정보에 이미 포함되어 있으면 새로운 전망의 가중치는 0이 되고, 기존 전망의 가중치도 변하지 않는다.
마지막으로 $\tau$와 $\Omega$가 0으로 수렴하면서 $\Omega/\tau$가 유한하게 유지된다고 하자.
\[\tau\rightarrow0,\quad\Omega\rightarrow0,\quad\frac{\Omega}{\tau}\text{는 유한}\Rightarrow\bar{\Sigma}\rightarrow\Sigma\]따라서 다음 관계가 성립한다.
\[\tilde{\mu}=\Sigma\bar{\Sigma}^{-1}\bar{\mu}\rightarrow\bar{\mu}\]이 극한에서 새로운 전망 가중치의 분자는 다음과 같이 단순화된다.
\[q-p^\top\tilde{\mu}\rightarrow q-p^\top\bar{\mu}\]Property 3.2
주장
특정한 $k$번째 전망에 대해 전망 포트폴리오의 가중치 $\lambda_k$는 해당 전망의 기대수익률 $q_k$가 증가할수록 증가한다.
\[\frac{\partial\lambda_k}{\partial q_k}>0\]또한 전망에 대한 확신 수준을 전망 불확실성의 역수인 $\omega_k^{-1}$로 나타내면, 확신 수준이 증가할수록 전망 가중치의 절댓값이 증가한다.
\[\omega_k^{-1}\uparrow\Rightarrow|\lambda_k|\uparrow\]즉 전망이 더욱 낙관적으로 변하면 해당 전망 포트폴리오의 가중치는 증가한다.
동일한 전망에 대한 확신이 높아지면 전망 가중치는 0에서 더 멀어지고, 해당 전망 포트폴리오를 더 큰 규모로 보유하게 된다.
Proof
증명
식 (18)은 다음과 같이 정리할 수 있다.
\[\Lambda=A^{-1}\frac{Q}{\delta}-A^{-1}P\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\qquad (38)\]다음 벡터를 정의한다.
\[g=\frac{Q}{\delta}-P\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\]그러면 전망 가중치 벡터는 다음과 같다.
\[\Lambda=A^{-1}g\]전망수익률 $q_k$에 대한 변화
$e_k$를 $k$번째 원소만 1이고 나머지 원소는 0인 표준기저벡터라고 하자.
\[e_k=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1&0&\cdots&0\end{pmatrix}^\top\]$A$는 전망수익률 벡터 $Q$에 의존하지 않는다. 따라서 $q_k$에 대해 미분하면 다음과 같다.
\[\frac{\partial\Lambda}{\partial q_k}=A^{-1}\frac{\partial}{\partial q_k}\left(\frac{Q}{\delta}\right)\]$Q$의 $k$번째 원소가 $q_k$이므로 다음이 성립한다.
\[\frac{\partial Q}{\partial q_k}=e_k\]따라서 다음을 얻는다.
\[\frac{\partial\Lambda}{\partial q_k}=\frac{1}{\delta}A^{-1}e_k\]$i$번째 전망 가중치에 대한 미분은 다음과 같다.
\[\frac{\partial\lambda_i}{\partial q_k}=\frac{1}{\delta}\left(A^{-1}\right)_{ik}\qquad (39)\]특히 $i=k$인 경우에는 다음과 같다.
\[\frac{\partial\lambda_k}{\partial q_k}=\frac{1}{\delta}\left(A^{-1}\right)_{kk}\qquad (40)\]$\Omega$가 양의 정부호이고 $\Sigma$가 양의 준정부호이므로 $A$는 양의 정부호이다.
\[\Omega\succ0,\quad P\Sigma P^\top\succeq0\Rightarrow A=\frac{\Omega}{\tau}+P\frac{\Sigma}{1+\tau}P^\top\succ0\]양의 정부호행렬의 역행렬도 양의 정부호이다.
\[A\succ0\Rightarrow A^{-1}\succ0\]따라서 $A^{-1}$의 모든 대각원소는 양수이다.
\[\left(A^{-1}\right)_{kk}>0\]위험회피계수도 양수이므로 다음이 성립한다.
\[\delta>0\Rightarrow\frac{\partial\lambda_k}{\partial q_k}=\frac{1}{\delta}\left(A^{-1}\right)_{kk}>0\]따라서 $k$번째 전망의 기대수익률 $q_k$가 증가할수록 해당 전망의 가중치 $\lambda_k$는 증가한다.
\[q_k\uparrow\Rightarrow\lambda_k\uparrow\]전망의 확신 수준 $\omega_k^{-1}$에 대한 변화
전망의 불확실성을 $\omega_k$라고 하면 확신 수준 또는 정밀도는 그 역수인 $\omega_k^{-1}$로 표현된다.
\[\text{confidence}_k=\omega_k^{-1}\]$\omega_k$가 작을수록 전망의 불확실성은 작고 $\omega_k^{-1}$은 커진다.
행렬 $\Omega$가 대각행렬이라고 하면 다음과 같다.
\[\Omega=\operatorname{diag}\left(\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_K\right)\]$\iota_{kk}$를 $k$번째 대각원소만 1이고 나머지 원소는 모두 0인 행렬이라고 하자.
\[\iota_{kk}=e_ke_k^\top\]식 (38)을 확신 수준 $\omega_k^{-1}$에 대해 미분한다.
\[\frac{\partial\Lambda}{\partial\omega_k^{-1}}=\frac{\partial A^{-1}}{\partial\omega_k^{-1}}\left(\frac{Q}{\delta}-P\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\right)\qquad (41)\]역행렬의 미분 공식은 다음과 같다.
\[\frac{\partial A^{-1}}{\partial x}=-A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x}A^{-1}\]$A$에서 $\omega_k$에 의존하는 부분은 $\Omega/\tau$이다.
\[A=\frac{\Omega}{\tau}+P\frac{\Sigma}{1+\tau}P^\top\]$\omega_k$를 $\omega_k^{-1}$에 대해 미분하면 다음과 같다.
\[\frac{\partial\omega_k}{\partial\omega_k^{-1}}=-\omega_k^2\]따라서 $A$의 미분은 다음과 같다.
\[\frac{\partial A}{\partial\omega_k^{-1}}=-\frac{\omega_k^2}{\tau}\iota_{kk}\]이를 역행렬 미분 공식에 대입한다.
\[\frac{\partial A^{-1}}{\partial\omega_k^{-1}}=-A^{-1}\left(-\frac{\omega_k^2}{\tau}\iota_{kk}\right)A^{-1}\]부호를 정리하면 다음과 같다.
\[\frac{\partial A^{-1}}{\partial\omega_k^{-1}}=\frac{\omega_k^2}{\tau}A^{-1}\iota_{kk}A^{-1}\]식 (41)에 대입한다.
\[\frac{\partial\Lambda}{\partial\omega_k^{-1}}=\frac{\omega_k^2}{\tau}A^{-1}\iota_{kk}A^{-1}\left(\frac{Q}{\delta}-P\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\right)\]식 (38)에 따라 다음 관계가 성립한다.
\[A^{-1}\left(\frac{Q}{\delta}-P\frac{\Sigma}{1+\tau}w_{\mathrm{eq}}\right)=\Lambda\]따라서 다음을 얻는다.
\[\frac{\partial\Lambda}{\partial\omega_k^{-1}}=\frac{\omega_k^2}{\tau}A^{-1}\iota_{kk}\Lambda\qquad (42)\]$\iota_{kk}=e_ke_k^\top$이므로 다음이 성립한다.
\[\iota_{kk}\Lambda=e_ke_k^\top\Lambda=e_k\lambda_k\]따라서 식 (42)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\frac{\partial\Lambda}{\partial\omega_k^{-1}}=\frac{\omega_k^2}{\tau}A^{-1}e_k\lambda_k\]이 벡터의 $k$번째 원소를 구하면 다음과 같다.
\[\frac{\partial\lambda_k}{\partial\omega_k^{-1}}=\frac{\omega_k^2}{\tau}\left(A^{-1}\right)_{kk}\lambda_k\qquad (43)\]다음 계수들은 모두 양수이다.
\[\omega_k^2>0,\quad\tau>0,\quad\left(A^{-1}\right)_{kk}>0\]따라서 미분값의 부호는 $\lambda_k$의 부호와 같다.
\[\operatorname{sgn}\left(\frac{\partial\lambda_k}{\partial\omega_k^{-1}}\right)=\operatorname{sgn}\left(\lambda_k\right)\]$\lambda_k$가 양수라면 확신 수준이 증가할수록 $\lambda_k$는 더 커진다.
\[\lambda_k>0\Rightarrow\frac{\partial\lambda_k}{\partial\omega_k^{-1}}>0\Rightarrow\lambda_k\uparrow\]$\lambda_k$가 음수라면 확신 수준이 증가할수록 $\lambda_k$는 더 작아져 음의 방향으로 이동한다.
\[\lambda_k<0\Rightarrow\frac{\partial\lambda_k}{\partial\omega_k^{-1}}<0\Rightarrow\lambda_k\downarrow\]두 경우 모두 전망 가중치는 0에서 더 멀어지므로 절댓값이 증가한다.
\[\omega_k^{-1}\uparrow\Rightarrow|\lambda_k|\uparrow\]따라서 전망에 대한 확신이 높아질수록 해당 전망 포트폴리오에 대한 투자 규모의 절댓값이 증가한다.
4. Numeric Examples
이 장에서는 앞에서 도출한 블랙–리터만 모형의 성질을 수치 예시를 통해 확인한다.
모든 예시에서 시장은 호주, 캐나다, 프랑스, 독일, 일본, 영국, 미국의 7개 국가 주가지수로 구성된다.
단순화를 위해 채권시장, 외환시장 및 그 밖의 주식시장은 제외한다.
Table 1에는 7개 국가 주가지수 수익률 사이의 상관계수가 제시되어 있다. Table 2에는 각 시장의 연환산 변동성, 시가총액 비중 및 시장균형 위험프리미엄이 제시되어 있다.
세계 전체 투자자의 평균적인 위험회피 정도를 나타내는 위험회피계수는 다음과 같이 가정한다.
\[\delta = 2.5\]4.1 시장자료
Table 1. 국가별 주가지수 수익률의 상관계수
| Australia | Canada | France | Germany | Japan | UK | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Canada | 0.488 | |||||
| France | 0.478 | 0.664 | ||||
| Germany | 0.515 | 0.655 | 0.861 | |||
| Japan | 0.439 | 0.310 | 0.355 | 0.354 | ||
| UK | 0.512 | 0.608 | 0.783 | 0.777 | 0.405 | |
| USA | 0.491 | 0.779 | 0.668 | 0.653 | 0.306 | 0.652 |
상관계수행렬은 대칭행렬이므로 원문에서는 대각선 아래쪽 값만 제시한다.
예를 들어 프랑스와 독일 주식시장의 상관계수는 0.861로 매우 높다. 영국과 프랑스의 상관계수도 0.783이며, 영국과 독일의 상관계수도 0.777이다.
이는 유럽 주식시장들이 서로 강하게 함께 움직이고 있음을 보여준다. 따라서 특정 유럽 국가에 관한 전망을 기대수익률에 반영하면 공분산구조를 통해 다른 유럽 국가의 최적 비중에도 영향을 줄 수 있다.
반면 일본과 미국의 상관계수는 0.306으로 상대적으로 낮다.
이러한 상관관계는 평균–분산 최적화에서 중요한 역할을 한다. 최적화기는 단순히 기대수익률이 높은 자산을 많이 보유하는 것이 아니라, 자산들이 서로 어떻게 움직이는지도 함께 고려하기 때문이다.
Table 2. 연환산 변동성, 시가총액 비중 및 시장균형 위험프리미엄
아래 표의 수치는 모두 백분율 단위이다.
| 국가 | $\sigma$ | $w_{\mathrm{eq}}$ | $\Pi$ |
|---|---|---|---|
| Australia | 16.0 | 1.6 | 3.9 |
| Canada | 20.3 | 2.2 | 6.9 |
| France | 24.8 | 5.2 | 8.4 |
| Germany | 27.1 | 5.5 | 9.0 |
| Japan | 21.0 | 11.6 | 4.3 |
| UK | 20.0 | 12.4 | 6.8 |
| USA | 18.7 | 61.5 | 7.6 |
여기서 $\sigma$는 각 주식시장 수익률의 연환산 변동성이다.
$w_{\mathrm{eq}}$는 시장균형 포트폴리오에서 각 국가가 차지하는 시가총액 비중이다.
$\Pi$는 시장균형 포트폴리오를 최적 포트폴리오로 만드는 시장균형 위험프리미엄이다.
시장균형 위험프리미엄은 다음의 역최적화 식으로 계산된다.
\[\Pi = \delta\Sigma w_{\mathrm{eq}}\]미국은 시장 포트폴리오에서 61.5%를 차지하여 가장 큰 비중을 가진다. 영국은 12.4%, 일본은 11.6%를 차지한다.
독일은 7개 국가 중 변동성이 27.1%로 가장 높으며, 시장균형 위험프리미엄도 9.0%로 가장 높다.
별도의 전망이 없는 경우 투자자는 기대수익률을 시장균형 위험프리미엄과 같다고 가정한다.
\[\mu = \Pi\]이 경우 평균–분산 최적화로부터 얻는 포트폴리오는 시장 포트폴리오 $w_{\mathrm{eq}}$가 된다.
4.2 전통적인 평균–분산 최적화
먼저 제3장에서 살펴본 독일 주식시장에 관한 전망을 전통적인 평균–분산 최적화로 처리해 보자.
투자자가 블랙–리터만 모형을 알지 못하지만 CAPM을 출발점으로 사용한다고 가정한다.
투자자에게 별도의 전망이 없다면 Table 2의 시장균형 위험프리미엄을 기대수익률로 사용한다. 따라서 최적화 결과로 시장 포트폴리오를 보유하게 된다.
이제 투자자가 독일 주식시장이 프랑스와 영국으로 구성된 나머지 유럽 주식시장보다 연간 5% 높은 수익률을 기록할 것이라는 전망을 가지고 있다고 하자.
전통적인 평균–분산 최적화를 사용하려면 이 전망을 각 국가의 기대수익률로 직접 변환해야 한다.
투자자는 독일의 기대수익률이 프랑스와 영국 기대수익률의 시가총액 가중평균보다 5% 높도록 기대수익률을 설정한다.
동시에 유럽 국가 전체의 시가총액 가중평균 기대수익률은 기존의 시장균형 수준과 같게 유지한다.
프랑스와 영국의 기대수익률 차이도 시장균형에서의 차이와 같게 유지한다.
호주, 캐나다, 일본, 미국과 같은 비유럽 국가들의 기대수익률은 시장균형 값에서 변경하지 않는다.
시장균형 상태에서도 독일의 위험프리미엄은 9.0%로 프랑스의 8.4%와 영국의 6.8%보다 높다. 따라서 독일이 나머지 유럽보다 높은 성과를 낼 것이라는 전망은 시장균형에 이미 어느 정도 반영되어 있다.
그 결과 전망을 반영하기 위해 필요한 기대수익률의 수정폭은 크지 않다.
Table 3. 전통적인 평균–분산 접근법의 기대수익률과 최적 포트폴리오
아래 표의 수치는 모두 백분율 단위이다.
| 국가 | $\mu$ | $w_{\mathrm{opt}}$ | $\mu-\Pi$ | $w_{\mathrm{opt}}-w_{\mathrm{eq}}$ |
|---|---|---|---|---|
| Australia | 3.9 | -5.1 | 0.0 | -6.7 |
| Canada | 6.9 | -2.3 | 0.0 | -4.5 |
| France | 7.6 | -50.1 | -0.8 | -55.3 |
| Germany | 11.5 | 83.6 | 2.4 | 78.1 |
| Japan | 4.3 | 14.9 | 0.0 | 3.3 |
| UK | 6.0 | -22.8 | -0.8 | -35.2 |
| USA | 7.6 | 66.6 | 0.0 | 5.1 |
$\mu$는 독일이 나머지 유럽시장보다 5% 높은 성과를 낼 것이라는 전망을 반영하여 직접 조정한 기대수익률이다.
$w_{\mathrm{opt}}$는 이렇게 조정한 기대수익률을 전통적인 평균–분산 최적화에 입력하여 구한 포트폴리오 비중이다.
$\mu-\Pi$는 투자자의 전망을 반영하기 위해 시장균형 위험프리미엄에서 기대수익률을 얼마나 수정했는지를 나타낸다.
$w_{\mathrm{opt}}-w_{\mathrm{eq}}$는 최적 포트폴리오가 시장균형 포트폴리오에서 얼마나 벗어났는지를 나타낸다.
독일의 기대수익률은 시장균형 값 9.0%에서 11.5%로 2.4%포인트 증가하였다. 반면 프랑스와 영국의 기대수익률은 각각 0.8%포인트 감소하였다.
기대수익률의 수정폭은 비교적 작지만 최적 포트폴리오의 비중 변화는 매우 크다.
독일의 비중은 시장균형 비중보다 78.1%포인트 증가한다. 프랑스의 비중은 55.3%포인트 감소하고, 영국의 비중은 35.2%포인트 감소한다.
독일의 비중을 높이고 프랑스와 영국의 비중을 낮추는 방향 자체는 투자자의 전망과 일치한다. 그러나 변화의 크기는 매우 극단적이다.
더 이해하기 어려운 점은 투자자가 별도의 전망을 제시하지 않은 국가들의 비중도 변한다는 것이다.
호주와 캐나다의 비중은 각각 6.7%포인트와 4.5%포인트 감소한다. 반면 일본과 미국의 비중은 각각 3.3%포인트와 5.1%포인트 증가한다.
투자자는 호주, 캐나다, 일본, 미국에 대해서는 어떠한 전망도 제시하지 않았다. 그런데도 이 국가들의 비중이 변한 이유는 기대수익률과 최적 포트폴리오 사이의 복잡한 관계 때문이다.
최적화기는 독일의 기대수익률만 독립적으로 해석하지 않는다. Table 1에 나타난 모든 국가의 변동성과 상관관계를 함께 이용하여 포트폴리오를 구성한다.
따라서 투자자가 자신의 전망을 기대수익률 벡터로 신중하게 변환하더라도 결과적으로 전망과 직접 관련이 없는 국가들의 비중까지 크게 달라질 수 있다.
4.3 블랙–리터만 모형을 이용한 첫 번째 전망
이제 같은 전망을 블랙–리터만 접근법으로 표현해 보자.
투자자의 첫 번째 전망은 독일 주식시장이 나머지 유럽 주식시장보다 연간 5% 높은 수익률을 기록한다는 것이다.
블랙–리터만 모형에서는 이 전망을 각 자산의 기대수익률을 직접 수정하는 방식으로 표현하지 않는다.
대신 독일 주식을 매수하고 프랑스와 영국 주식을 시가총액 비중에 따라 매도하는 전망 포트폴리오를 구성한다.
프랑스와 영국의 시장비중은 각각 5.2와 12.4이다. 따라서 두 국가만을 기준으로 계산한 상대적인 시가총액 비중은 다음과 같다.
\[\frac{5.2}{5.2+12.4} \approx 0.295\] \[\frac{12.4}{5.2+12.4} \approx 0.705\]따라서 첫 번째 전망 포트폴리오는 독일을 100% 매수하고 프랑스를 29.5%, 영국을 70.5% 매도하는 형태이다.
이 전망 포트폴리오의 기대수익률에 대한 투자자의 전망은 5%이다.
\[q_1 = 5.00\]전망의 상대적 불확실성은 다음과 같이 설정한다.
\[\frac{\omega_1}{\tau} = 0.021\]Table 4. 독일 대 나머지 유럽 전망을 반영한 블랙–리터만 포트폴리오
아래 표의 수치는 모두 백분율 단위이다.
| 국가 | $p_1$ | $\bar{\mu}$ | $w^*$ | $w^*-\dfrac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}$ |
|---|---|---|---|---|
| Australia | 0.0 | 4.3 | 1.5 | 0.0 |
| Canada | 0.0 | 7.6 | 2.1 | 0.0 |
| France | -29.5 | 9.3 | -4.0 | -8.9 |
| Germany | 100.0 | 11.0 | 35.4 | 30.2 |
| Japan | 0.0 | 4.5 | 11.0 | 0.0 |
| UK | -70.5 | 7.0 | -9.5 | -21.3 |
| USA | 0.0 | 8.1 | 58.6 | 0.0 |
첫 번째 열의 $p_1$은 독일 대 나머지 유럽 전망을 나타내는 전망 포트폴리오이다.
$\bar{\mu}$는 식 (8)을 이용하여 시장균형과 투자자의 전망을 결합한 사후 기대수익률이다.
$w^*$는 블랙–리터만 사후 기대수익률과 공분산행렬을 이용하여 구한 최적 포트폴리오이다.
마지막 열은 최적 포트폴리오가 조정된 시장균형 포트폴리오에서 얼마나 벗어났는지를 나타낸다.
\[w^*-\frac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}\]블랙–리터만 모형에서는 투자자가 CAPM 시장균형에 대해 완전히 확신하지 않는다고 본다. 따라서 투자자는 시장 포트폴리오 자체가 아니라 다음의 조정된 시장 포트폴리오에서 출발한다.
\[\frac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}\]이 예시에서는 다음과 같이 설정한다.
\[\tau = 0.05\]이는 CAPM 사전평균을 20년의 자료를 이용하여 추정한 경우에 해당하는 신뢰 수준으로 해석된다.
투자자는 조정된 시장균형 포트폴리오에 첫 번째 전망 포트폴리오를 추가한다.
전망 포트폴리오의 가중치는 식 (18)을 이용하여 계산하며, 이 예시에서는 다음과 같다.
\[\lambda_1 = 0.302\]최적 포트폴리오가 조정된 시장균형 포트폴리오에서 벗어난 정도는 전망 포트폴리오에 $\lambda_1$을 곱한 값과 정확히 일치한다.
\[w^*-\frac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}=\lambda_1p_1\]독일의 경우 다음과 같다.
\[0.302\times100.0=30.2\]프랑스의 경우 다음과 같다.
\[0.302\times(-29.5)\approx-8.9\]영국의 경우 다음과 같다.
\[0.302\times(-70.5)\approx-21.3\]따라서 독일 비중은 30.2%포인트 증가하고 프랑스와 영국 비중은 각각 8.9%포인트와 21.3%포인트 감소한다.
호주, 캐나다, 일본, 미국은 전망 포트폴리오에서 비중이 0이므로 조정된 시장균형 포트폴리오로부터 추가적인 비중 변화가 없다.
이는 Table 3의 전통적인 평균–분산 최적화 결과와 중요한 차이를 보인다.
전통적인 접근법에서는 투자자가 전망을 제시하지 않은 국가들의 비중까지 변했다. 반면 블랙–리터만 접근법에서는 독일, 프랑스, 영국으로 구성된 전망 포트폴리오의 방향으로만 비중이 조정된다.
별도의 전망이 없다면 다음 관계가 성립한다.
\[\bar{\mu}=\Pi\] \[\bar{\Sigma}=(1+\tau)\Sigma\]4.4 두 번째 전망의 추가
이제 투자자가 첫 번째 전망에 더해 캐나다 주식시장이 미국 주식시장보다 연간 3% 높은 수익률을 기록할 것이라는 두 번째 전망을 가지고 있다고 하자.
이 전망은 캐나다 주식을 100% 매수하고 미국 주식을 100% 매도하는 전망 포트폴리오로 표현한다.
\[p_2=\text{캐나다 매수}-\text{미국 매도}\]두 번째 전망의 기대수익률은 다음과 같다.
\[q_2=3.00\]두 번째 전망의 상대적 불확실성은 다음과 같다.
\[\frac{\omega_2}{\tau}=0.017\]Table 5. 두 개의 전망을 반영한 블랙–리터만 포트폴리오
아래 표에서 $p_1$은 독일 대 나머지 유럽 전망이고, $p_2$는 캐나다 대 미국 전망이다.
| 국가 | $p_1$ | $p_2$ | $\bar{\mu}$ | $w^*$ | $w^*-\dfrac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Australia | 0.0 | 0.0 | 4.4 | 1.5 | 0.0 |
| Canada | 0.0 | 100.0 | 8.7 | 41.9 | 39.8 |
| France | -29.5 | 0.0 | 9.5 | -3.4 | -8.4 |
| Germany | 100.0 | 0.0 | 11.2 | 33.6 | 28.4 |
| Japan | 0.0 | 0.0 | 4.6 | 11.0 | 0.0 |
| UK | -70.5 | 0.0 | 7.0 | -8.2 | -20.0 |
| USA | 0.0 | -100.0 | 7.5 | 18.8 | -39.8 |
| $q$ | 5.00 | 3.00 | |||
| $\omega/\tau$ | 0.021 | 0.017 | |||
| $\lambda$ | 0.298 | 0.418 |
최적 포트폴리오의 조정폭은 두 전망 포트폴리오의 가중합으로 나타난다.
\[w^*-\frac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}=\frac{\lambda_1}{1+\tau}p_1+\frac{\lambda_2}{1+\tau}p_2\]Table 5에 제시된 전망 가중치는 다음과 같다.
\[\lambda_1=0.298\] \[\lambda_2=0.418\]최종 포트폴리오에 실제로 적용되는 전망 포트폴리오의 노출은 전체 조정계수 $1/(1+\tau)$를 반영한 값이다.
\[\frac{\lambda_1}{1+\tau}=\frac{0.298}{1.05}\approx0.284\] \[\frac{\lambda_2}{1+\tau}=\frac{0.418}{1.05}\approx0.398\]첫 번째 전망으로 인해 독일의 비중은 28.4%포인트 증가한다. 프랑스와 영국의 비중은 각각 8.4%포인트와 20.0%포인트 감소한다.
두 번째 전망으로 인해 캐나다의 비중은 39.8%포인트 증가하고 미국의 비중은 39.8%포인트 감소한다.
따라서 두 개의 전망을 가진 투자자는 시장균형 포트폴리오를 출발점으로 삼은 뒤 두 전망 포트폴리오에 각각 최적의 크기로 투자한다.
4.5 전망이 더욱 낙관적으로 변하는 경우
이제 투자자가 캐나다 대 미국 전망을 더욱 낙관적으로 수정한다고 하자.
기존에는 캐나다가 미국보다 3% 높은 수익률을 기록할 것으로 예상했지만, 이제 그 차이가 4%가 될 것으로 전망한다.
\[q_2:3.00\longrightarrow4.00\]다른 조건은 동일하게 유지한다.
Property 3.2에 따르면 특정 전망의 기대수익률 $q_k$가 증가하면 해당 전망 포트폴리오의 가중치 $\lambda_k$도 증가해야 한다.
Table 6. 캐나다 대 미국 전망을 4%로 높인 경우
| 국가 | $p_1$ | $p_2$ | $\bar{\mu}$ | $w^*$ | $w^*-\dfrac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Australia | 0.0 | 0.0 | 4.4 | 1.5 | 0.0 |
| Canada | 0.0 | 100.0 | 9.1 | 53.3 | 51.3 |
| France | -29.5 | 0.0 | 9.5 | -3.3 | -8.2 |
| Germany | 100.0 | 0.0 | 11.3 | 33.1 | 27.8 |
| Japan | 0.0 | 0.0 | 4.6 | 11.0 | 0.0 |
| UK | -70.5 | 0.0 | 7.0 | -7.8 | -19.6 |
| USA | 0.0 | -100.0 | 7.3 | 7.3 | -51.3 |
| $q$ | 5.00 | 4.00 | |||
| $\omega/\tau$ | 0.021 | 0.017 | |||
| $\lambda$ | 0.292 | 0.538 |
캐나다 대 미국 전망의 가중치는 Table 5의 0.418에서 Table 6의 0.538로 증가한다.
\[\lambda_2:0.418\longrightarrow0.538\]전체 조정계수를 반영한 두 번째 전망의 실제 노출은 다음과 같다.
\[\frac{\lambda_2}{1+\tau}=\frac{0.538}{1.05}\approx0.513\]따라서 캐나다 비중은 조정된 시장균형 포트폴리오보다 51.3%포인트 증가하고 미국 비중은 51.3%포인트 감소한다.
Table 5에서는 캐나다와 미국의 조정폭이 각각 39.8%포인트였지만, 전망이 3%에서 4%로 더 낙관적으로 변하면서 그 조정폭이 51.3%포인트로 커졌다.
이는 전망의 기대수익률이 높아질수록 해당 전망 포트폴리오의 가중치가 증가한다는 Property 3.2를 보여준다.
첫 번째 전망의 가중치는 0.298에서 0.292로 소폭 변한다. 이는 두 전망 포트폴리오가 공분산을 통해 서로 연결되어 있기 때문이다.
4.6 첫 번째 전망에 대한 확신이 낮아지는 경우
이번에는 캐나다 대 미국 전망을 4%로 유지하되, 독일 대 나머지 유럽 전망에 대한 확신이 낮아진다고 하자.
투자자는 첫 번째 전망에 대해 이전의 절반 정도만 확신한다.
전망의 불확실성은 $\omega/\tau$로 표현된다. 불확실성이 커질수록 투자자의 확신은 낮아진다.
첫 번째 전망의 상대적 불확실성은 다음과 같이 증가한다.
\[\frac{\omega_1}{\tau}:0.021\longrightarrow0.043\]이는 불확실성이 약 두 배로 증가한 것이므로 정밀도는 대략 절반으로 감소한 것으로 해석할 수 있다.
Property 3.2에 따르면 전망에 대한 확신이 낮아지면 해당 전망 가중치의 절댓값이 감소해야 한다.
Table 7. 독일 대 나머지 유럽 전망에 대한 확신이 낮아진 경우
| 국가 | $p_1$ | $p_2$ | $\bar{\mu}$ | $w^*$ | $w^*-\dfrac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Australia | 0.0 | 0.0 | 4.3 | 1.5 | 0.0 |
| Canada | 0.0 | 100.0 | 8.9 | 53.9 | 51.8 |
| France | -29.5 | 0.0 | 9.3 | -0.5 | -5.4 |
| Germany | 100.0 | 0.0 | 10.6 | 23.6 | 18.4 |
| Japan | 0.0 | 0.0 | 4.6 | 11.0 | 0.0 |
| UK | -70.5 | 0.0 | 6.9 | -1.1 | -13.0 |
| USA | 0.0 | -100.0 | 7.2 | 6.8 | -51.8 |
| $q$ | 5.00 | 4.00 | |||
| $\omega/\tau$ | 0.043 | 0.017 | |||
| $\lambda$ | 0.193 | 0.544 |
첫 번째 전망의 가중치는 Table 6의 0.292에서 Table 7의 0.193으로 감소한다.
\[\lambda_1:0.292\longrightarrow0.193\]그 결과 독일의 추가 비중은 27.8%포인트에서 18.4%포인트로 감소한다.
프랑스의 비중 축소폭은 8.2%포인트에서 5.4%포인트로 감소한다.
영국의 비중 축소폭도 19.6%포인트에서 13.0%포인트로 감소한다.
즉 독일이 나머지 유럽보다 높은 성과를 낼 것이라는 전망의 내용은 여전히 5%로 같지만, 그 전망에 대한 확신이 낮아지면서 전망 포트폴리오에 투자하는 규모가 작아진다.
이는 전망에 대한 확신이 높을수록 전망 가중치의 절댓값이 커진다는 Property 3.2를 보여준다.
두 번째 전망의 가중치는 0.538에서 0.544로 소폭 변한다. 이는 첫 번째 전망의 불확실성 변화가 전망 포트폴리오 사이의 공분산을 통해 두 번째 전망의 가중치에도 일부 영향을 주기 때문이다.
4.7 기존 정보에 이미 포함된 세 번째 전망
마지막 예시는 Property 3.1을 보여준다.
투자자는 Table 7의 두 전망에 더해 세 번째 전망을 추가한다.
세 번째 전망은 캐나다 주식시장이 일본 주식시장보다 4.12% 높은 수익률을 기록한다는 것이다.
이 전망은 캐나다 주식을 100% 매수하고 일본 주식을 100% 매도하는 포트폴리오로 표현한다.
\[p_3=\text{캐나다 매수}-\text{일본 매도}\]세 번째 전망의 기대수익률은 다음과 같다.
\[q_3=4.12\]그러나 Table 7의 시장균형과 첫 번째·두 번째 전망을 이용하여 계산한 캐나다 매수·일본 매도 포트폴리오의 내재 기대수익률 역시 정확히 4.12%이다.
즉 세 번째 전망은 기존의 시장균형과 앞선 두 전망으로부터 이미 도출되는 내용과 정확히 같다.
따라서 세 번째 전망은 새로운 정보를 제공하지 않는다.
Property 3.1에 따르면 새롭게 추가된 전망이 기존 정보로부터 내재된 기대수익률과 정확히 같다면 해당 전망의 가중치는 0이 되어야 한다.
Table 8. 기존 정보에 이미 포함된 세 번째 전망을 추가한 경우
| 국가 | $p_1$ | $p_2$ | $p_3$ | $\bar{\mu}$ | $w^*$ | $w^*-\dfrac{w_{\mathrm{eq}}}{1+\tau}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Australia | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 4.3 | 1.5 | 0.0 |
| Canada | 0.0 | 100.0 | 100.0 | 8.9 | 53.9 | 51.8 |
| France | -29.5 | 0.0 | 0.0 | 9.3 | -0.5 | -5.4 |
| Germany | 100.0 | 0.0 | 0.0 | 10.6 | 23.6 | 18.4 |
| Japan | 0.0 | 0.0 | -100.0 | 4.6 | 11.0 | 0.0 |
| UK | -70.5 | 0.0 | 0.0 | 6.9 | -1.1 | -13.0 |
| USA | 0.0 | -100.0 | 0.0 | 7.2 | 6.8 | -51.8 |
| $q$ | 5.00 | 4.00 | 4.12 | |||
| $\omega/\tau$ | 0.043 | 0.017 | 0.059 | |||
| $\lambda$ | 0.193 | 0.544 | 0.000 |
세 번째 전망의 가중치는 정확히 0이다.
\[\lambda_3=0\]따라서 세 번째 전망 포트폴리오는 최적 포트폴리오에 아무런 노출도 추가하지 않는다.
\[\frac{\lambda_3}{1+\tau}p_3=0\]첫 번째와 두 번째 전망의 가중치는 Table 7과 동일하다.
\[\lambda_1=0.193\] \[\lambda_2=0.544\]사후 기대수익률 $\bar{\mu}$와 최적 포트폴리오 $w^*$도 Table 7과 정확히 같다.
이는 기존 정보에서 이미 도출되는 전망을 추가하더라도 블랙–리터만 모형이 그 정보를 중복하여 반영하지 않는다는 점을 보여준다.
4.8 수치 예시의 정리
Table 3의 전통적인 평균–분산 최적화에서는 기대수익률을 조금만 조정해도 최적 포트폴리오 비중이 극단적으로 변했다.
또한 투자자가 전망을 제시하지 않은 호주, 캐나다, 일본, 미국의 비중까지 변하였다.
반면 블랙–리터만 모형에서는 시장균형 포트폴리오에서 출발하여 투자자의 전망을 나타내는 포트폴리오만 추가한다.
첫 번째 예시에서는 독일을 매수하고 프랑스와 영국을 매도하는 전망 포트폴리오만 추가되었다.
두 번째 전망을 추가하면 캐나다를 매수하고 미국을 매도하는 전망 포트폴리오가 추가되었다.
전망이 더욱 낙관적으로 변하면 해당 전망 포트폴리오의 가중치가 증가하였다.
전망에 대한 확신이 낮아지면 해당 전망 포트폴리오 가중치의 절댓값이 감소하였다.
기존 정보에 이미 포함된 전망을 추가하면 그 전망의 가중치는 0이 되었으며, 기존의 기대수익률과 최적 포트폴리오는 변하지 않았다.
따라서 수치 예시는 블랙–리터만 최적 포트폴리오가 다음과 같은 구조를 가진다는 점을 확인해 준다.
\[w^*=\frac{1}{1+\tau}\left(w_{\mathrm{eq}}+P^\top\Lambda\right)\]투자자는 조정된 시장균형 포트폴리오에서 출발한 뒤 각 전망의 방향과 강도 및 확신 수준에 따라 전망 포트폴리오를 추가한다.
이 장에서는 단순화를 위해 채권시장, 외환시장 및 그 밖의 주식시장을 제외하였다.
이 예시에서는 $\tau=0.05$로 가정한다. 이는 CAPM 사전평균을 약 20년의 자료로 추정한 경우에 해당하는 신뢰 수준으로 해석된다.
투자자가 별도의 전망을 가지고 있지 않다면 $\bar{\mu}=\Pi$이고, 미래 수익률의 공분산행렬은 $\bar{\Sigma}=(1+\tau)\Sigma$가 된다.
5. Conclusion
이 논문은 블랙–리터만 자산배분 모형을 기대수익률을 알 수 없는 방식으로 산출하는 복잡한 블랙박스로 보는 대신, 최적 포트폴리오의 구조를 통해 모형의 직관을 이해하는 방법을 제시하였다.
제약조건이 없는 경우 투자자는 먼저 시장균형 기대수익률에 대한 불확실성을 반영하여 규모가 조정된 시장 포트폴리오를 보유한다. 이후 자신이 가진 각 전망을 나타내는 전망 포트폴리오를 추가한다.
블랙–리터만 모형은 전망의 강도와 확신 수준, 전망 포트폴리오와 시장균형 포트폴리오 사이의 공분산, 그리고 전망 포트폴리오들 사이의 공분산을 고려하여 각 전망 포트폴리오에 부여할 최적의 가중치를 결정한다.
따라서 제약조건이 없는 최적 포트폴리오는 다음과 같이 표현된다.
\[w^*=\frac{1}{1+\tau}\left(w_{\mathrm{eq}}+P^\top\Lambda\right)\]여기서 $w_{\mathrm{eq}}$는 시장균형 포트폴리오이고, $P^\top\Lambda$는 투자자의 전망을 나타내는 포트폴리오들의 가중합이다. 즉 투자자는 시장 포트폴리오에서 출발한 뒤, 자신의 전망이 있는 방향으로만 포트폴리오 비중을 조정한다.
투자자의 위험회피 정도가 시장 전체의 평균적인 위험회피 정도와 다르거나, 공매도 제한과 자산별 비중 제한 같은 제약조건이 존재하는 경우에는 위 포트폴리오를 그대로 사용할 수 없을 수도 있다.
이 경우에도 블랙–리터만 모형으로 구한 사후 기대수익률 $\bar{\mu}$와 예측수익률의 공분산행렬 $\bar{\Sigma}$를 일반적인 포트폴리오 최적화 모형의 입력값으로 사용하면 투자자의 조건에 맞는 최적 포트폴리오를 구할 수 있다.
사후 기대수익률은 최적 포트폴리오와 다음의 관계를 가진다.
\[\bar{\mu}=\delta\bar{\Sigma}w^*\]즉 사후 기대수익률 $\bar{\mu}$는 예측수익률의 공분산행렬 $\bar{\Sigma}$와 최적 포트폴리오 $w^*$의 곱에 시장의 평균적인 위험회피계수 $\delta$를 반영한 값으로 해석할 수 있다.
전통적인 평균–분산 최적화에서는 입력한 기대수익률이 조금만 달라져도 자산 비중이 크게 변하거나, 투자자의 전망과 직접 관련이 없는 자산의 비중까지 예상하기 어려운 방향으로 조정될 수 있다.
반면 블랙–리터만 모형을 적절하게 적용하면 시장균형 포트폴리오를 기준으로 투자자의 전망이 반영되는 방향을 명확하게 확인할 수 있다. 따라서 블랙–리터만 모형은 보다 안정적이고 해석하기 쉬운 최적 포트폴리오를 구성하는 방법이라고 볼 수 있다.
Reference
- He, G., & Litterman, R. (2002). The Intuition Behind Black-Litterman Model Portfolios. Goldman Sachs Asset Management.
이 글은 위 논문의 내용을 학습 목적으로 번역하고 정리한 글이다. 일부 문장은 이해를 돕기 위해 의역하거나 설명을 추가했으며, 수식과 표의 내용은 원문을 바탕으로 재구성하였다.