실제 자료는 연속적인 현상을 대상으로 하더라도 모든 지점에서 관측되는 것은 아니다. 대개는 서로 떨어진 몇 개의 지점에서만 값이 주어지며, 그 사이의 값은 직접 알 수 없다. 수치해석에서는 이처럼 주어진 자료점을 모두 지나도록 적절한 함수를 구성하고, 이를 이용하여 자료 사이의 값을 추정하는 방법을 보간법(interpolation)이라고 한다. 보간...

Monte Carlo 방법에서는 표본을 반복해서 생성하고, 그 표본으로부터 기대값이나 옵션 가격을 근사한다. 이때 흔히 생성되는 표본을 난수라고 부르지만, 컴퓨터가 만들어 내는 수는 실제로는 알고리즘과 초기 seed에 의해 결정되는 의사난수(pseudorandom number) 이다. 의사난수는 무작위처럼 보이도록 만들어진다. 그러나 옵션 가격을 M...

1. 유한차분법이 필요한 이유 옵션가격 (V(t,S))는 Black–Scholes–Merton 편미분방정식과 계약별 만기조건·경계조건에 의해 결정된다. 유럽형 콜옵션과 풋옵션에는 해석해가 알려져 있다. 계약조건이 복잡해지면 편미분방정식의 해를 닫힌 형태로 구하기 어려워지며, 이때 수치해법을 사용한다.[1][2] 유한차분법은 시간과 주가를 격자로 나...

Abstract 마코위츠의 MVO는 여러 자산의 기대수익률과 위험을 이용하여, 주어진 위험 수준에서 기대수익률을 가장 높이는 자산 비중을 찾기 위해 사용되거나 반대로 일정한 기대수익률을 달성하면서 위험을 최소화하는 포트폴리오를 구하는 데에도 사용할 수 있다. 그러나 이 방법은 투자자가 입력하는 기대수익률에 매우 민감하다. 기대수익률을 조금만 변경해...

1. Introduction Markowitz가 평균–분산 최적화 MVO를 제시한 이후, 평균–분산 모형은 투자할 종목과 포트폴리오 비중을 결정하는 가장 체계적인 방법 가운데 하나로 사용되어 왔다. 평균–분산 최적화에는 두 가지 핵심 입력값이 필요하다. 첫 번째는 각 종목의 기대초과수익률이다. 이는 미래 가격 움직임을 예측하는 포트폴리오 매니저의...

Newton-Raphson Method \(f(x)=0\) 의 해를 직접 구할 수 있으면 가장 좋겠지만, 실제 계산에서는 그렇지 않은 경우가 많다. 다항방정식이어도 차수가 높아지면 해를 깔끔하게 쓰기 어렵고, 삼각함수나 지수함수가 섞인 초월방정식에서는 손으로 해를 구하기가 더 어려워진다. 이럴 때 필요한 것이 근사해를 구하는 수치해법이다. 앞 장에...

Bisection Method 수치해석에서 자주 만나는 문제 중 하나는 방정식의 해를 구하는 일이다. 특별한 형태의 방정식은 손으로 풀 수 있지만, 고차 대수방정식이나 초월방정식에서는 해를 정확한 식으로 나타내기 어려운 경우가 많다. 이때는 해석적인 방법 대신 계산을 반복하여 해에 가까운 값을 구한다. 수학적으로 정확한 해를 정해(exact sol...

Black-Scholes-Merton PDE 유도 2 이번 절에서는 Black-Scholes-Merton 모형을 이용해 옵션 가격이 만족해야 하는 PDE를 다시 유도한다. 핵심 아이디어는 간단하다. 같은 옵션 가격 변화 $df(t,S_t)$를 두 가지 방식으로 계산한 뒤, 두 식을 서로 비교하는 것이다. 첫 번째 방식은 복제 포트폴리오와 자기금융...

Black-Scholes-Merton PDE 유도 1: 델타 헤징 접근 Black-Scholes-Merton 방정식을 유도할 때에는 여러 가지 가정이 사용된다. 이러한 가정은 모형이 어떤 조건에서 성립하는지를 보여주기 때문에, 방정식 자체만큼이나 중요하다. 특히 실제 금융시장에서는 이러한 조건들이 완벽하게 충족되지 않는다. 따라서 유도 과정을 살펴...